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Desigualdad, España

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2018, 06:08 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Sean $a,b,c\in\mathbb{R}^+$. Pruebe que $$ \frac {a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac {a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac {3a+b+c}{2a+3b+3c} \ge \frac {15}{8}$$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2018, 08:45 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Si $a,b,c$ satisfacen la desigualdad y $\lambda>0$ entonces $\lambda a , \lambda b, \lambda c$ también satisfacen la desigualdad. Así sin perdida de generalidad podemos suponer $a+b+c=1$. Ahora notemos que<br />$$\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}=\frac{1+2c}{3-c}$$ por lo que definiendo $f(x)=\frac{1+2x}{3-x}$ debemos probar que si $a+b+c=1$ entonces $f(a)+f(b)+f©\geq \frac{15}{8}$. \par<br /><br />Esto sigue por convexidad (desigualdad de Jensen) pues $f''(x)=-\frac{14}{(x-3)^3}$ de donde $f$ es convexa en el intervalo $[0,3]$ y luego $$\frac{f(a)+f(b)+f©}{3}\geq f(\frac{a+b+c}{3})=f(\frac{1}{3})=\frac{5}{8}$$$

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2018, 02:08 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	Buena!!, dejo la mia: $TEX: Veamos que la desigualdad es equivalente a probar que $\sum_{cyc}{\frac{c}{3a+3b+2c}}\geq \frac{3}{8}$, por C-S en la forma de engel: $\sum_{cyc}{\frac{c}{3a+3b+2c}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}{c(3a+3b+2c)}}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2+2(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2+\frac{2}{3}(a+b+c)^2}=\frac{1}{2+\frac{2}{3}}=\frac{3}{8}$, donde en la última desigualdad use que $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\iff 2(ab+bc+ac)\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2 \blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

1123581321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2018, 02:52 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 19-December 17 Miembro Nº: 155.290	CITA(mamboraper @ Jan 5 2018, 02:08 PM) Buena!!, dejo la mia: $TEX: Veamos que la desigualdad es equivalente a probar que $\sum_{cyc}{\frac{c}{3a+3b+2c}}\geq \frac{3}{8}$, por C-S en la forma de engel: $\sum_{cyc}{\frac{c}{3a+3b+2c}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}{c(3a+3b+2c)}}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2+2(ab+bc+ac)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2+\frac{2}{3}(a+b+c)^2}=\frac{1}{2+\frac{2}{3}}=\frac{3}{8}$, donde en la última desigualdad use que $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\iff 2(ab+bc+ac)\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2 \blacksquare$$ fue exactamente lo que hice jajaajaj -------------------- La intuición es un arma poderosa en un matemático.- ...Un hermoso cálculo que nació en una noche de inspiración $TEX: $$\frac{\sqrt[5]{5}}{\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt[9]{9}}{\sqrt[7]{7}}\cdot \frac{\sqrt[13]{13}}{\sqrt[11]{11}}\cdot \frac{\sqrt[17]{17}}{\sqrt[15]{15}}\cdot \frac{\sqrt[21]{21}}{\sqrt[19]{19}}\cdot \frac{\sqrt[25]{25}}{\sqrt[23]{23}}\cdot ...=\exp \left( -\frac{\pi \gamma }{4}-\frac{\pi }{2}\log 2-\frac{3\pi }{4}\log \pi +\pi \log \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \right)$$$

1123581321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2018, 02:53 PM Publicado: #5
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 19-December 17 Miembro Nº: 155.290	aqui lo mio Archivo(s) Adjunto(s) desigual.JPG ( 37.09k ) Número de descargas: 1 -------------------- La intuición es un arma poderosa en un matemático.- ...Un hermoso cálculo que nació en una noche de inspiración $TEX: $$\frac{\sqrt[5]{5}}{\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt[9]{9}}{\sqrt[7]{7}}\cdot \frac{\sqrt[13]{13}}{\sqrt[11]{11}}\cdot \frac{\sqrt[17]{17}}{\sqrt[15]{15}}\cdot \frac{\sqrt[21]{21}}{\sqrt[19]{19}}\cdot \frac{\sqrt[25]{25}}{\sqrt[23]{23}}\cdot ...=\exp \left( -\frac{\pi \gamma }{4}-\frac{\pi }{2}\log 2-\frac{3\pi }{4}\log \pi +\pi \log \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \right)$$$

1123581321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 21 2018, 03:04 PM Publicado: #6
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 19-December 17 Miembro Nº: 155.290	CITA(mamboraper @ Jan 4 2018, 06:08 PM) $TEX: Sean $a,b,c\in\mathbb{R}^+$. Pruebe que $$ \frac {a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac {a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac {3a+b+c}{2a+3b+3c} \ge \frac {15}{8}$$$ Tenemos $TEX: $$\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac{3a+b+c}{2a+3b+3c}\ge \frac{15}{8}$$$ Multiplicamos por 3 $TEX: $$\frac{3a+3b+9c}{3a+3b+2c}+\frac{3a+9b+3c}{3a+2b+3c}+\frac{9a+3b+3c}{2a+3b+3c}\ge \frac{45}{8}$$$ $TEX: $$\frac{7a}{2a+3b+3c}+1+\frac{7b}{3a+2b+3c}+1+\frac{7c}{3a+3b+2c}+1\ge \frac{45}{8}$$$ entonces debemos probar que $TEX: $$\frac{a}{2a+3b+3c}+\frac{b}{3a+2b+3c}+\frac{c}{3a+3b+2c}\ge \frac{3}{8}$$$ aplicando cauchy $TEX: $$\frac{a^{2}}{2a^{2}+3ab+3ca}+\frac{b^{2}}{3ab+2b^{2}+3bc}+\frac{c^{2}}{3ca+3bc+2c^{2}}\ge \frac{\left( a+b+c \right)^{2}}{2a^{2}+3ab+3ca+3ab+2b^{2}+3bc+3ca+3bc+2c^{2}}$$$ $TEX: $$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left( a+b+c \right)^{2}}{\left( a+b+c \right)^{2}+ab+bc+ca}\ge \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$$$ esto ultimo porque $TEX: $$\frac{4}{3}\cdot \left( a+b+c \right)^{2}\ge \left( a+b+c \right)^{2}+ab+bc+ca$$$ Fin -------------------- La intuición es un arma poderosa en un matemático.- ...Un hermoso cálculo que nació en una noche de inspiración $TEX: $$\frac{\sqrt[5]{5}}{\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt[9]{9}}{\sqrt[7]{7}}\cdot \frac{\sqrt[13]{13}}{\sqrt[11]{11}}\cdot \frac{\sqrt[17]{17}}{\sqrt[15]{15}}\cdot \frac{\sqrt[21]{21}}{\sqrt[19]{19}}\cdot \frac{\sqrt[25]{25}}{\sqrt[23]{23}}\cdot ...=\exp \left( -\frac{\pi \gamma }{4}-\frac{\pi }{2}\log 2-\frac{3\pi }{4}\log \pi +\pi \log \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \right)$$$

1123581321 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2018, 11:59 AM Publicado: #7
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 19-December 17 Miembro Nº: 155.290	CITA(mamboraper @ Jan 4 2018, 06:08 PM) $TEX: Sean $a,b,c\in\mathbb{R}^+$. Pruebe que $$ \frac {a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac {a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac {3a+b+c}{2a+3b+3c} \ge \frac {15}{8}$$$ Tenemos $TEX: $$\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac{3a+b+c}{2a+3b+3c}\ge \frac{15}{8}$$$ Hagamos el cambio de variable $TEX: $$\left( a,b,c \right)=\left( 3x+3y-5z,3x-5y+3z,-5x+3y+3z \right)$$$ $TEX: $$\frac{-9x+7y+7z}{8x}+\frac{7x-9y+7z}{8y}+\frac{7x+7y-9z}{8z}\ge \frac{15}{8}$$$ $TEX: $$-9+\frac{7y+7z}{x}-9+\frac{7x+7z}{y}-9+\frac{7x+7y}{z}\ge 15$$$ $TEX: $$\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\ge 6$$$ $TEX: $$\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\ge 9$$$ $TEX: $$\frac{x+y+z}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$$$ Cuando es obvio Mensaje modificado por 1123581321 el Mar 16 2018, 12:00 PM -------------------- La intuición es un arma poderosa en un matemático.- ...Un hermoso cálculo que nació en una noche de inspiración $TEX: $$\frac{\sqrt[5]{5}}{\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{\sqrt[9]{9}}{\sqrt[7]{7}}\cdot \frac{\sqrt[13]{13}}{\sqrt[11]{11}}\cdot \frac{\sqrt[17]{17}}{\sqrt[15]{15}}\cdot \frac{\sqrt[21]{21}}{\sqrt[19]{19}}\cdot \frac{\sqrt[25]{25}}{\sqrt[23]{23}}\cdot ...=\exp \left( -\frac{\pi \gamma }{4}-\frac{\pi }{2}\log 2-\frac{3\pi }{4}\log \pi +\pi \log \Gamma \left( \frac{1}{4} \right) \right)$$$

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