Identificarse Registrarse

Psu
Enseñanza Básica
Enseñanza Media
Universidad
Olimpiadas
Comunidad



 
 Reply to this topicStart new topic
> Todos los enteros
LittleKesha
mensaje Dec 20 2017, 04:07 PM
Publicado: #1


Matemático
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 41
Registrado: 10-April 17
Desde: Italia
Miembro Nº: 150.783
Sexo:



Determinar todos los enteros TEX: x,y tales que
TEX: $$y^2 =x^5-4$$.
Go to the top of the page
 
+Quote Post
lapantufla
mensaje Dec 26 2017, 07:05 PM
Publicado: #2


Matemático
Ícono de Grupo

Grupo: Usuario FMAT
Mensajes: 52
Registrado: 5-December 12
Miembro Nº: 114.123
Nacionalidad:
Sexo:



Solución: Por inspección vemos que TEX: $y^2 \ \text{mod } 11 \in \{\bar{0},\bar{1},\bar{3},\bar{4},\bar{5},\bar{9}\}$ y TEX: $x^5-4 \ \text{mod } 11\in\{\bar{6},\bar{7},\bar{8},\bar{10}\}$ así que la ecuación no tiene soluciones.

Me gusto este problema porque hace un tiempo vi unos resultados super curiosos sobre ecuaciones similares (las de la forma TEX: $y^2=x^3+k$ llamadas de Mordell) e hizo que recordara eso. Tambien este tipo de ecuaciones son las que se podrían resolver si supiésemos una versión efectiva de la conjetura ABC porque asumiendo ella, si existiesen una solución a TEX: $x^5=y^2+4$ tendríamos que para cada TEX: $\varepsilon>0$ existiría un TEX: $C_{\varepsilon}$ independiente de TEX: $x,y$ y calculable tal que
TEX: $$x^5 \leq C_{\varepsilon}\text{rad}(4x^5y^2)^{1+\varepsilon}\leq 2C_{\varepsilon}xy^{1+\varepsilon}\leq2C_{\varepsilon} x^{4\cdot(1+\varepsilon)}$$

y luego tomando TEX: $\varepsilon=\frac{1}{8}$ por ejemplo tendríamos TEX: $0\leq x \leq (2C_{\frac{1}{8}})^{10}$. Una vez acotando TEX: $x$ podemos acotar TEX: $y$ y luego podemos usar un computador para encontrar todas las soluciones de la ecuación ya que podemos restringirnos solo a ver el rango de valores acotados.

Mensaje modificado por lapantufla el Dec 27 2017, 06:27 AM
Go to the top of the page
 
+Quote Post
 

Reply to this topicStart new topic
1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))
0 miembro(s):

 

Versión Lo-Fi Fecha y Hora actual: 3rd April 2025 - 04:27 PM
Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007  IPS, Inc.