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> Todos los enteros
LittleKesha
mensaje Dec 20 2017, 04:07 PM
Publicado: #1


Matemático
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Determinar todos los enteros TEX: x,y tales que
TEX: $$y^2 =x^5-4$$.
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lapantufla
mensaje Dec 26 2017, 07:05 PM
Publicado: #2


Matemático
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Solución: Por inspección vemos que TEX: $y^2 \ \text{mod } 11 \in \{\bar{0},\bar{1},\bar{3},\bar{4},\bar{5},\bar{9}\}$ y TEX: $x^5-4 \ \text{mod } 11\in\{\bar{6},\bar{7},\bar{8},\bar{10}\}$ así que la ecuación no tiene soluciones.

Me gusto este problema porque hace un tiempo vi unos resultados super curiosos sobre ecuaciones similares (las de la forma TEX: $y^2=x^3+k$ llamadas de Mordell) e hizo que recordara eso. Tambien este tipo de ecuaciones son las que se podrían resolver si supiésemos una versión efectiva de la conjetura ABC porque asumiendo ella, si existiesen una solución a TEX: $x^5=y^2+4$ tendríamos que para cada TEX: $\varepsilon>0$ existiría un TEX: $C_{\varepsilon}$ independiente de TEX: $x,y$ y calculable tal que
TEX: $$x^5 \leq C_{\varepsilon}\text{rad}(4x^5y^2)^{1+\varepsilon}\leq 2C_{\varepsilon}xy^{1+\varepsilon}\leq2C_{\varepsilon} x^{4\cdot(1+\varepsilon)}$$

y luego tomando TEX: $\varepsilon=\frac{1}{8}$ por ejemplo tendríamos TEX: $0\leq x \leq (2C_{\frac{1}{8}})^{10}$. Una vez acotando TEX: $x$ podemos acotar TEX: $y$ y luego podemos usar un computador para encontrar todas las soluciones de la ecuación ya que podemos restringirnos solo a ver el rango de valores acotados.

Mensaje modificado por lapantufla el Dec 27 2017, 06:27 AM
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