Prueba 4 Cálculo I 2015

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Prueba 4 Cálculo I 2015, Álvaro Castañeda, primer semestre 2015. Facultad de Ciencias.

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technoguyx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2017, 10:45 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 25-January 17 Miembro Nº: 149.812 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ví que las demás tres pruebas ya estaban en este subforo (1, 2, 3), así que en honor a la completud postearé la cuarta y última prueba correspondiente a ese semestre, más o menos en el mismo formato en que Niklaash las subió. _______________________________________________________________ Cálculo I, Prueba 4 Problema 1: Critique, es decir, si la afirmación es verdadera entonces demuéstrela. Si la afirmación es falsa, muestre un contraejemplo y luego cambie la(s) hipótesis para hacer la afirmación verdadera. (i) Sea $TEX: $f: X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ continua en $TEX: $a \in X$$ . Entonces $TEX: $f$$ es derivable en $TEX: $a$$ . (ii) Sea $TEX: $f: X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ derivable en $TEX: $a \in X$$ . Entonces $TEX: $f$$ es continua en $TEX: $a$$ . (iii) Sea $TEX: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definida por: $TEX: $$f(x) = \frac{x}{\left\|x\right\|},$$$ si $TEX: $$x \neq 0$$$ , $TEX: $$f(x) = 0,$$$ si $TEX: $$x = 0$$$ . Problema 2: (i) Enuncie el Teorema del Valor Medio de Lagrange. (ii) Sea $TEX: $f:[a,b] \to \mathbb{R}$$ una función continua tal que $TEX: $f'(x) = 0$$ para todo $TEX: $x \in (a,b)$$ . Demuestre que $TEX: $f(x)=c$$ para todo $TEX: $x \in [a,b]$$ con $TEX: $c \in \mathbb{R}$$ . (iii) Sean $TEX: $f, g:[a,b] \to \mathbb{R}$$ funciones continuas, derivables en $TEX: $(a,b)$$ , y $TEX: $f'(x)=g'(x)$$ para todo $TEX: $x \in (a,b)$$ . Demuestre que existe $TEX: $c \in \mathbb{R}$$ tal que $TEX: $g(x) = f(x) + c$$ para todo $TEX: $x \in [a,b]$$ . Problema 3: Considere la siguiente función $TEX: $f:[-3\pi, 3\pi] \to \mathbb{R}$$ definida por: $TEX: $$f(x) = \frac{sin(x) + cos(x)sin(x)}{x^2 + 2x - 15}$$$ . (i) Determine los ceros de la función. (ii) Determine el signo de la función. (iii) Determine los mínimos, máximos y puntos de inflexión de la función. (iv) Bosqueje el gráfico de la función. _______________________________________________________________ Adjunto la solución en pdf: sol_prueba_4_1_2015.pdf ( 79.08k ) Número de descargas: 25