VI OIM: 1991, Sin resolver: 2, 3, 5, 6 Opciones

[S. E. Puelma Moy...]

6ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS
Córdoba, Argentina, 1991

Primera Prueba: Septiembre

Problema 1: A cada vértice de un cubo se le asigna un 1 o un -1. Luego, a cada cara se le asigna el producto de los cuatro números asociados a sus vértices. ¿Qué valores puede tomar la suma de los catorce números así obtenidos?

Problema 2: Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen (cada una) área 1. Demuestre que el cuadrado tiene área 4

Problema 3: Sea una función no decreciente que cumple lo siguiente

• 
• 
• 

Determine el valor de

Segunda Prueba: Septiembre

Problema 4: Encuentre un número de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con las cinco cifras de

Problema 5: Sea un polinomio en dos variables. Diremos que es un <span style='color:red'>valor de</span> si tales que

1. Determine cuántos elementos de {1,2,3,...,100} son valores de
2. Pruebe que el producto de valores de es un valor de

Problema 6: Dados tres puntos no colineales: , sabemos que y son los puntos medios de dos lados de un triángulo, y que es su ortocentro. Construya el triángulo

Resumen de soluciones

Problema 1: 1 solución
Aquí, resuelto por Corecrasher y resumido por xsebastian
Problema 2: Pendiente de solución
Problema 3: Pendiente de solución
Problema 4: 1 solución
Aquí, resuelto por Corecrasher
Problema 5: Pendiente de solución
Problema 6: Pendiente de solución

[Caetano]

Solucion al problema 5:

notemos ke



Probaremos la parte de ke el producto de dos valores de es valor de (la parte a es mas facilita )



con lo ke keda probado

[S. E. Puelma Moy...]

Tú estás afirmando algo con la siguiente igualdad:

Quieres decir que escribirlo de una forma, es equivalente a escribirlo de la otra. Hay una sutil diferencia entre ambas formas, que debemos evitar de algún modo.

Por ejemplo, pudo ser que "por comodidad" escribieras algo del tipo:

Pero NO es lo mismo que un número tenga la forma del lado izquierdo, a que tenga la forma del lado derecho. Podemos pasar de la izquierda para la derecha, pero no siempre al revés (suponiendo todo entero). Porque el lado izquierdo es:

O sea no es equivalente un número de esta forma, con uno que sea suma de dos cuadrados. Otro ejemplo sería si se tuviera:

No son dos formas equivalentes, porque el lado izquierdo debe ser par, en cambio el lado derecho admite (en principio) números impares.

Aquí hay una pequeña ventaja: , de donde

Te faltó una consideración de ese estilo, para entender que los valores de , y las sumas de dos cuadrados perfectos, son precisamente cosas equivalentes.

Alguien que intente aclarar este asunto:

es un valor de (apegado a la definición) es suma de cuadrados de dos enteros" (observen con cuidado lo que acabo de decir)

Y otro alguien (o el mismo) que HAGA la parte a

De lo contrario, no daremos este problema como resuelto

[S. E. Puelma Moy...]

Problema 4 resuelto

Oprime con el botón del mouse aquí

[Guía Rojo]

Tengo una gran inquietud en el Problema 3...

Aquí va, quiero que vean si he cometido algún error o qué cosa ocurre:

































Entonces llegamos a la igualdad
Y desarrollando:






POR QUÉ PASA ESTO???

eso, gracias...

[Rurouni Kenshin]

La verdad revisar todo tu desarrollo me dio flojera...jejejeje...pero hay un error claro en tu razonamiento.
La funcion va de en
Si en tu calculo usaste entonces tenemos implicito que
Ahora si usas esta implicito que y asi concluyes que
Contradiccion...
Quizas hayan mas detalles...ojala alguien quiera revisar mas a fondo
Saludos

[Guía Rojo]

aaah ya... igual como q me había dado cuenta...

y algo también... me pueden dar un hint para ese problema?

[S. E. Puelma Moy...]

Aunque parezca un poco ridículo, el único consejo para el problema 3 es tener harta paciencia. Los argumentos que pusiste antes, como dijo Kenshin, no están muy buenos, según los valores que puede tomar

Intenta calcular , para todos los que puedas, a ver si descubres algo interesante

[Corecrasher]

Notemos que cada vez que algun vertice cambia de signo se ven alterados sumandos de la suma final , el vertice y las caras que lo contienen.

La suma buscada varia de la forma . (*)

Notemos que la maxima suma es por lo tanto la supuesta minima seria , luego

Por (*) los supuestos posibles valores de serian:

.
Estamos claros que es imposible pues deberian de ser asi todos los vertices negativos y de ser asi las caras positivas.
Estamos claros que no se puede obtener pues si es asi deben haber positivos y negativos , con un vertice negativo y con dos vertices negativos hay ademas caras por lo menos negativas , que son las que tienen a uno de los vertices pero no al otro.

Luego , que seran mostrados acontinuacion para que no pifeen que talvez lo que digo no es verdad .

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[Corecrasher]

Voy a hacerla cortita en esta segunda solucion , es un poquitin mas intuitiva , solo basta con empezar con un cubo con todos sus vertices del mismo signo e ir cambiando vertice por vertice el signo hasta llegar de tener todos los vertices de un signo hasta el otro signo , asi pasaremos por todos los posibles valores (obviamente evaluamos el valor de cada vez que cambiemos el signo de un vertice)