 Irracional |
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 Aug 25 2017, 09:27 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo:   |
![TEX: \[{\text{Mostrar que }}\frac{1}{b} + \frac{1}{{{b^4}}} + \frac{1}{{{b^9}}} + \frac{1}{{{b^{16}}}} + ...{\text{ es un irracional para b un entero p ositivo mayor que 1}}\]](/tex-image/13a08d95503ae84d37cecf6d59f9c799.png) CODE fuente: guia teoria de numeros pucv
Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Aug 25 2017, 09:35 PM -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica.
From my personal life: I highly recommend this video Click Here! Es altamente deseable tener aptitud para la quimica(termodinámica), la programación, alta comprensión de un problema y planteamiento del mismo, y tener resiliencia al estudiar Ingenieria Civil Industrial. Civil Industrial es en gran parte saber levantar(modelar problemas) procesos logísticos. Puedo dar fe que la Universidad Nacional Andres Bello está adelante de varias U'es Regionales(Calidad similar a la UTAL). Realidad universidades del mundo (18:30): Youtube Quiten Filosofia, Musica y Religión del Curriculum de la Media!! No es recomendado trabajar/colaborar entre matemáticos en general. En general, y a menos que Chile gaste mínimo 2% PIB en I+D, quedarse a investigar en el país, es matarse académicamente. Como recomendación Brasil es un pais muy adelantado en investigación versus AL. Gasto 2023: 0,34%.  |
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 Jan 11 2018, 01:32 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo: |
Aqui presento una alternativa que se me ocurrio hace poco, ya que tuve Calculo II en mi u, diferente a la que presente en el Colegio de Ingenieros, espero observaciones!
![TEX: \[\begin{gathered}<br /> S(k) = \sum\limits_0^\infty {{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}}} \hfill \\<br /> S'(k) = \sum\limits_1^\infty { - 2k{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}}\ln b} = - 2\ln b\sum\limits_1^\infty {{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}}} k, \hfill \\<br /> {\text{Por criterio del cuociente:}} \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {\frac{{{{(\frac{1}{b})}^{{{(k + 1)}^2}}}}}{{{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{{(\frac{1}{b})}^{(k + 1 + k)(k + 1 - k)}}} \right| < 1 \hfill \\<br /> \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {(\frac{1}{b})^{(2k + 1)}} < 1 \hfill \\<br /> 0 < 1,{\text{ Converge}}{\text{, Ademas:}} \hfill \\<br /> {(\frac{1}{b})^{{k^2} + 2k + 1}} - {(\frac{1}{b})^{{k^2}}} \leqslant 0 = > {(\frac{1}{b})^{{k^2}}}({(\frac{1}{b})^{2k + 1}} - 1) \leqslant 0 \hfill \\<br /> {(\frac{1}{b})^{2k + 1}} \leqslant 1 = > {(\frac{1}{b})^{2k}} \cdot (\frac{1}{b}) \leqslant 1 = > {(\frac{1}{b})^{2k}} \leqslant b \hfill \\<br /> \frac{1}{{{b^{2k}}}} \leqslant b = > 1 \leqslant {b^{2k + 1}},\ln 1 \leqslant (2k + 1)\ln b,0 \leqslant \ln b,1 \leqslant b,b \ne 1 = > Decreciente \hfill \\<br /> S'(x) < 0 = > \hfill \\<br /> - 2\ln b < 0 \hfill \\<br /> {\text{lnb}} > {\text{0}} \hfill \\<br /> {\text{b}} > {\text{1}} \hfill \\<br /> b \in \mathbb{Z} = > - 2\ln b(\sum\limits_1^\infty {{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}}} k) \in Q* \hfill \\<br /> {\text{Quedaria por demostrar un caso para cuando S es negativo}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](/tex-image/1da851b780af0cc6f44a08888ebecf22.png) La parte de la derivada es innecesaria. Eso si el lnb tiene que estar bien definido. Ademas sabemos que la derivada nos aporta la tasa de cambio infinitesimal en una funcion, por lo que es necesario recurrir al Conjunto de los irracionales para obtener la derivada. Ademas en el conjunto de los Racionales sus operaciones estan bien definidas. Para lo ultimo el producto entre un racional e irracional es siempre irracional . Fuente Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Jan 11 2018, 06:06 PM -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica.
From my personal life: I highly recommend this video Click Here! Es altamente deseable tener aptitud para la quimica(termodinámica), la programación, alta comprensión de un problema y planteamiento del mismo, y tener resiliencia al estudiar Ingenieria Civil Industrial. Civil Industrial es en gran parte saber levantar(modelar problemas) procesos logísticos. Puedo dar fe que la Universidad Nacional Andres Bello está adelante de varias U'es Regionales(Calidad similar a la UTAL). Realidad universidades del mundo (18:30): Youtube Quiten Filosofia, Musica y Religión del Curriculum de la Media!! No es recomendado trabajar/colaborar entre matemáticos en general. En general, y a menos que Chile gaste mínimo 2% PIB en I+D, quedarse a investigar en el país, es matarse académicamente. Como recomendación Brasil es un pais muy adelantado en investigación versus AL. Gasto 2023: 0,34%. |
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Jan 11 2018, 08:36 PM
Publicado:
#3
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 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad:  Sexo: |
CITA(Legition Rompediskoteqa @ Jan 11 2018, 02:32 PM)  Aqui presento una alternativa que se me ocurrio hace poco, ya que tuve Calculo II en mi u, diferente a la que presente en el Colegio de Ingenieros, espero observaciones! La parte de la derivada es innecesaria. Eso si el lnb tiene que estar bien definido. Ademas sabemos que la derivada nos aporta la tasa de cambio infinitesimal en una funcion, por lo que es necesario recurrir al Conjunto de los irracionales para obtener la derivada. Ademas en el conjunto de los Racionales sus operaciones estan bien definidas. Para lo ultimo el producto entre un racional e irracional es siempre irracional . Fuente Varios reclamos: 0.- Con respecto a qué es la suma? No tiene sentido nada desde ahí. 1.- Por qué si S es la serie que escribes ahí, puedes derivar término a término? Eso es en general falso, a menos que tengas hipótesis adicionales. 2.- El producto entre un racional e un irracional si puede ser racional. 3.- No entiendo cómo concluiste nada. Una suma de cosas decrecientes, positivas, racionales sí puede dar racional (ej clásico: 1+1/2+1/4+1/8+...=2) -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside |
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 Jan 11 2018, 09:54 PM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo: |
QUOTE(vocin @ Jan 11 2018, 09:36 PM) Varios reclamos: 0.- Con respecto a qué es la suma? No tiene sentido nada desde ahí. 1.- Por qué si S es la serie que escribes ahí, puedes derivar término a término? Eso es en general falso, a menos que tengas hipótesis adicionales. 2.- El producto entre un racional e un irracional si puede ser racional. 3.- No entiendo cómo concluiste nada. Una suma de cosas decrecientes, positivas, racionales sí puede dar racional (ej clásico: 1+1/2+1/4+1/8+...=2) Con respecto a k, me hiciste darme cuenta q S parte del k=1, no afecta mucho pero hay que ser riguroso. Interesante seria ver como se comporta la n-esima derivada de S. el punto 2 lo dices por el 0? Si es asi no aplica a este caso. 3- Este punto es el más importante: Ln pertenece a los Irracionales. Justamente este es el paso q debo justificar. En tu ej creo q te refieres a la serie geometrica. Con lo ultimo me diste una idea de cómo acotar S: ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \frac{{\frac{1}{b}}}{{1 - \frac{1}{b}}} = \frac{{\frac{1}{b}}}{{\frac{{b - 1}}{b}}} = \frac{1}{{b - 1}} = b - 1 \geqslant 2 - 1 = \frac{1}{{b - 1}} \leqslant 1 = \frac{1}{{b - 1}} < 1 \hfill \\<br /> S < 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](/tex-image/034b17a7ceea2dfcb259386894e96f47.png) Gracias por las observaciones. Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Jan 12 2018, 12:47 PM -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica.
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Jan 12 2018, 12:44 PM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo: |
CITA(Legition Rompediskoteqa @ Jan 11 2018, 10:54 PM) Con respecto a k, me hiciste darme cuenta q S parte del k=1, no afecta mucho pero hay que ser riguroso. Interesante seria ver como se comporta la n-esima derivada de S. el punto 2 lo dices por el 0? Si es asi no aplica a este caso. 3- Este punto es el más importante: Ln pertenece a los Irracionales. Justamente este es el paso q debo justificar. En tu ej creo q te refieres a la serie geometrica. Con lo ultimo me diste una idea de cómo acotar S: ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> \sum\limits_1^\infty {{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}} \leqslant \sum\limits_1^\infty {{{(\frac{1}{b})}^k} = \frac{b}{{1 - \frac{1}{b}}} = \frac{{b - 1 + 1}}{{b - 1}} = 1 + \frac{1}{{b - 1}}} } ,0 < \frac{1}{{b - 1}} < 1 \hfill \\<br /> = \frac{b}{{1 - \frac{1}{b}}} < 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](/tex-image/e80388a00662bcc1bdcb35d69154f4e4.png) Gracias por las observaciones. Legition, mi punto con la parte 0 es otro. Tú denotaste S(k) a una expresión. De esta manera, no puedes utilizar el k para la sumatoria (porque k no es un índice, es una variable en este caso). Más aún, cuando derivaste, estás derivando con respecto a k, y tampoco uno tiene seguridad de si eso se puede hacer. Hay casos donde uno puede escribir f(x) como una sumatoria, y la derivada de f(x) no coincide con la derivada de los términos de la sumatoria. (uno necesita en general hipótesis más fuertes para asegurar eso). Y con respecto a la cota, probaste que tu expresión está entre 0 y 2. Hay muchos racionales ahí metidos -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside |
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Jan 12 2018, 12:53 PM
Publicado:
#6
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo: |
QUOTE(vocin @ Jan 12 2018, 01:44 PM) Legition, mi punto con la parte 0 es otro. Tú denotaste S(k) a una expresión. De esta manera, no puedes utilizar el k para la sumatoria (porque k no es un índice, es una variable en este caso). Más aún, cuando derivaste, estás derivando con respecto a k, y tampoco uno tiene seguridad de si eso se puede hacer. Hay casos donde uno puede escribir f(x) como una sumatoria, y la derivada de f(x) no coincide con la derivada de los términos de la sumatoria. (uno necesita en general hipótesis más fuertes para asegurar eso). Y con respecto a la cota, probaste que tu expresión está entre 0 y 2. Hay muchos racionales ahí metidos Eso trato de representar. Para lo segundo puedo tomar la expresión como una Serie de Potencias(en a=0), que es con lo que empecé pensando, en este caso si sería una buena hipótesis. Si lo que dices es cierto entonces se cae todo. La cota la arreglé(es estrictamente menor o igual que 1). Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Jan 12 2018, 08:36 PM -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica.
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Jan 12 2018, 06:59 PM
Publicado:
#7
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo: |
Creo con esto muere el problema:
Supongamos que S es Racional. ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> 0 < S = \frac{p}{q} \leqslant 1{\text{ }}\frac{p}{q} \in Q \hfill \\<br /> 0 < p{\text{ y }}p \leqslant q{\text{ y q}} \ne 0 \hfill \\<br /> S' = (\frac{p}{q})' \hfill \\<br /> - 2\ln b\sum\limits_1^\infty {{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}} \cdot k = } \frac{{q - p}}{{{q^2}}}{\text{ y}} \hfill \\<br /> \frac{{q - p}}{{{q^2}}} > 0 \hfill \\<br /> \sum\limits_1^\infty {{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}} \cdot k = } \frac{{q - p}}{{ - 2{q^2}\ln b}} \hfill \\<br /> \sum\limits_1^\infty {{{(\frac{1}{b})}^{{k^2}}} \cdot k > 0} \hfill \\<br /> {\text{y vimos que:}} \hfill \\<br /> \frac{1}{{ - 2\ln 2}} \leqslant \frac{1}{{ - 2\ln b}} < 0{\text{ /}} \cdot \frac{{q - p}}{{{q^2}}}{\text{ entonces:}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \frac{{q - p}}{{ - 2{q^2}\ln 2}} \leqslant \frac{{q - p}}{{ - 2{q^2}\ln b}} < 0{\text{ = }} > {\text{ Contradiccion}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](/tex-image/150bfa1def2b98e8143012665400da33.png) Más rigurosamente: ![TEX: \[\begin{gathered}<br /> b \geqslant 2 \hfill \\<br /> \ln b \geqslant \ln 2 \hfill \\<br /> 0 < \frac{1}{{\ln b}} \leqslant \frac{1}{{\ln 2}} \hfill \\<br /> 0 > \frac{1}{{ - 2\ln b}} \geqslant \frac{1}{{ - 2\ln 2}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]](/tex-image/2893da952093a24610cd02b241c22317.png) Si este metodo es cierto, acabo de inventar uno y es aplicable a cualquier serie de esta forma. Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Jan 12 2018, 08:25 PM -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica.
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Jan 12 2018, 11:19 PM
Publicado:
#8
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Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo: |
No, no es cierto. (p/q)' no es lo que escribise. Lee bien lo que asumiste. Asumiste que tu número S era igual a p/q. Así, p/q es una constante, y su derivada por tanto es cero.
Más aún, cuando abajo multiplicas por (q-p)/q^2, puede que q<p y por ello multiplicas por algo negativo; así, llegarías a algo que es verdad. Quizá sea bueno que practiques algo de "como introducción al álgebra" (algo de lógica, cómo escribir una demostración, etc) para que sepas qué se supone que estás haciendo. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside |
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Jan 12 2018, 11:23 PM
Publicado:
#9
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Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo: |
QUOTE(vocin @ Jan 13 2018, 12:19 AM) No, no es cierto. (p/q)' no es lo que escribise. Lee bien lo que asumiste. Asumiste que tu número S era igual a p/q. Así, p/q es una constante, y su derivada por tanto es cero. Más aún, cuando abajo multiplicas por (q-p)/q^2, puede que q<p y por ello multiplicas por algo negativo; así, llegarías a algo que es verdad. Quizá sea bueno que practiques algo de "como introducción al álgebra" (algo de lógica, cómo escribir una demostración, etc) para que sepas qué se supone que estás haciendo. Esta acotada... En fin me falta demostrar q es derivable la serie y ya encontre un pdf 
Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Jan 12 2018, 11:28 PM -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica.
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Jan 13 2018, 07:44 AM
Publicado:
#10
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Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo: |
Legition, en cada párrafo que he escrito he marcado como dos errores; si lees solamente uno el resto de cosas malas siguen estando. Hasta ahora lo que llevas escrito está en general malo
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