 grado de elemento |
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 Aug 19 2017, 12:43 PM
Publicado:
#1
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Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad:  Sexo:   |
encuentre el grado de 2^(1/5)+5^(1/2) sobre Q
-------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM)  Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos. |
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Aug 28 2017, 07:12 PM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad: Sexo: |
alguna idea?, sería bueno que en este foro resolvieran otro tipo de problemas :3
-------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM) Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos. |
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Aug 29 2017, 02:33 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Supremo  Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463 |
Pongo a continuación una sol. más detallada (en la que incorporo también una observación de G. B. que ayuda a rematar el problema más rápidamente).
![TEX: <br />Hagamos $\alpha:=\sqrt{5}$, $\beta:=\sqrt[5]{2}$ y $\omega=e^{\frac{2\pi i }{5}}$ y denotemos <br />con $f(x)$ al polinomio mínimo de $\alpha$ (sobre $\mathbb{Q}$) y con $g(x)$ al polinomio mínimo de $\beta$ (sobre $\mathbb{Q}$).<br /><br />\smallskip <br /><br />Afirmamos que si $\theta := \alpha+\beta$ entonces $\mathbb{Q}(\alpha,\beta) = \mathbb{Q}(\theta)$. La inclusión<br />$\mathbb{Q}(\alpha,\beta) \supseteq \mathbb{Q}(\theta)$ es clara; para establecer la otra inclusión basta con demostrar que $\beta \in \mathbb{Q}(\theta)$. Explico a continuación como establecer esto último:<br /><br />\smallskip<br /><br />El polinomio $\phi(x) =f(\theta-x)$ pertenece a $\mathbb{Q}(\theta)[x]$ y además $\phi(\beta) = f(\theta-\beta) = f(\alpha)=0$. Más aún, como $\alpha+\beta \neq \alpha + \omega \beta, \alpha+\beta \neq \alpha+\omega^{2} \beta$, $\alpha+\beta \neq \alpha + \omega^{3} \beta$, $\alpha+\beta \neq \alpha+\omega^{4} \beta$, $\alpha+\beta \neq -\alpha + \omega \beta$, $\alpha+\beta \neq -\alpha+\omega^{2}\beta$, $\alpha+\beta \neq -\alpha+\omega^{3}\beta$ y $\alpha+\beta \neq -\alpha+\omega^{4}\beta$, entonces $\beta$ es el único cero común de $\phi(x)$ y $g(x)$. Luego, si $h(x)$ es el polinomio mínimo de $\beta$ sobre $\mathbb{Q}(\theta)$ entonces $h(x) \mid \phi(x)$ y $h(x) \mid g(x)$ (en $\mathbb{Q}(\theta)[x]$). $h(x)$ no puede ser de grado mayor que uno pues, en caso de serlo, los polinomio $\phi(x)$ y $g(x)$ tendrían más de un cero en común. Así pues, $h(x) = ax+b$ para algunos $a,b \in \mathbb{Q}(\theta)$, donde $a \neq 0$. Como $h(\beta)=0$, entonces $\beta = -b/a \in \mathbb{Q}(\theta)$, lo cual es justamente lo que deseabamos establecer.<br /><br />\smallskip<br /><br />De lo anterior se sigue que el grado del núm. algebraico dado es igual a $[\mathbb{Q}(\theta):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\alpha)(\beta):\mathbb{Q}(\alpha)][\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\beta)(\alpha):\mathbb{Q}(\beta)][\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]$. Puesto que $[\mathbb{Q}(\alpha)(\beta):\mathbb{Q}(\alpha)][\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 2[\mathbb{Q}(\alpha)(\beta):\mathbb{Q}(\alpha)]$ y $[\mathbb{Q}(\beta)(\alpha):\mathbb{Q}(\beta)][\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}] = 5[\mathbb{Q}(\beta)(\alpha):\mathbb{Q}(\beta)]$, se tiene que $2$ divide a $[\mathbb{Q}(\beta)(\alpha):\mathbb{Q}(\beta)]$; de esto último y del hecho que $[\mathbb{Q}(\beta)(\alpha):\mathbb{Q}(\beta)]\leq 2$ se concluye que el grado de la extensión $\mathbb{Q}(\theta)/\mathbb{Q}$ es igual a $2 \cdot 5 =10.$ Por consiguiente, el grado de $\sqrt{5}+\sqrt[5]{2}$ sobre $\mathbb{Q}$ también es 10.](/tex-image/694870eea0ac5983b3cd61ff77c0a40f.png)
-------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau
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Aug 30 2017, 12:20 AM
Publicado:
#4
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad: Sexo: |
Esto va a resueltos.
Presento mi solución con la notación de coquitao. Espero que la solución convenza a coquitao. ![TEX: Notar que $\mathbb{Q}(\beta,\alpha)=\mathbb{Q}(\theta)(\alpha)$, por tanto<br /><br />$[\mathbb{Q}(\beta)(\alpha):\mathbb{Q}(\theta)]$ es 1 o 2 y como notó coquitao teníamos que $[\mathbb{Q}(\beta,\alpha):\mathbb{Q}]=10$<br /><br />luego $[\mathbb{Q}(\theta):\mathbb{Q}]$ es 5 o 10, veamos que no es 5 que es la parte difícil del problema<br /><br />pero si fuera 5, $\theta^5$ sería combinación lineal de $\theta^i$ $\, i\leq 4$, pero esto no puede ser pues un término que aparece en $\theta^5$ es $\beta^4\alpha$ (simplemente el teorema del binomio) que es linealmente independiente con cualquier otra cosa que aparezca en los $\theta^i$, pues por la misma observación de coquitao de que $[\mathbb{Q}(\beta,\alpha):\mathbb{Q}]=10$ sabemos por teoría de extensiones dobles que que $\beta^i\alpha^k$ $\, i\leq 4$ y $\, k\leq 1$ es una base de 10 elementos de la extensión generada por los dos elementos, lo cual es una contradicción con que ese grado fuera 5, por lo tanto es 10](/tex-image/8c54da47daad3d5fb786c8f5fe935bd4.png)
-------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM) Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos. |
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