Triángulos pitagóricos

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector PreOlímpico > Teoría de Números > Problemas Propuestos

2 Páginas:

1 2 >

Triángulos pitagóricos

Opciones

hermite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2017, 08:24 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558	Encuentre todos los triangulos pitagóricos con area un cuadrado perfecto.

Legition Rompedi... Legition Rompediskoteqa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2017, 09:36 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo:	http://gaussianos.com/generando-ternas-pitagoricas/ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{Tomemos dos numeros racionales positivos}}{\text{, }} \hfill \\<br /> \frac{a}{b},\frac{c}{d},{\text{ cuyo producto = k}}{\text{, sumando k a cada racional}} \hfill \\<br /> \frac{a}{b} + k = \frac{{a + bk}}{b},{\text{ }}\frac{c}{d} + k = \frac{{c + dk}}{d},{\text{ ahora se amplifica igualando denominador}} \hfill \\<br /> \frac{{ad + bdk}}{{bd}},{\text{ }}\frac{{cb + dbk}}{{db}},{\text{ ahora se elevan los numeradores al cuadrado}} \hfill \\<br /> {\left( {ad + bdk} \right)^2},{\text{ }}{\left( {cb + dbk} \right)^2},{\text{ entonces la hipotenusa es}} \hfill \\<br /> {{\text{a}}^2}{{\text{d}}^2}{\text{ + 2ab}}{{\text{d}}^2}k + {b^2}{d^2}{k^2} + {c^2}{b^2} + 2c{b^2}dk + {d^2}{b^2}{k^2} = {{\text{a}}^2}{{\text{d}}^2}{\text{ + 2ab}}{{\text{d}}^2}k + 2{b^2}{d^2}{k^2} + {c^2}{b^2} + 2c{b^2}dk \hfill \\<br /> {\text{ahora nos piden que el Area sea un cuadrado perfecto}} \hfill \\<br /> \frac{{{{\left( {ad + bdk} \right)}^2}{{\left( {cb + dbk} \right)}^2}}}{2} = k{'^2} = \frac{{{{\left( {\left( {ad + bdk} \right)\left( {cb + dbk} \right)} \right)}^2}}}{2} = \frac{{{{\left( {\left( {adcb + a{d^2}ck + bdcbk + {b^2}{d^2}k} \right)} \right)}^2}}}{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ Que alguien la termine, no sé como seguir -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica. From my personal life: I highly recommend this video Click Here! Es altamente deseable tener aptitud para la quimica(termodinámica), la programación, alta comprensión de un problema y planteamiento del mismo, y tener resiliencia al estudiar Ingenieria Civil Industrial. Civil Industrial es en gran parte saber levantar(modelar problemas) procesos logísticos. Puedo dar fe que la Universidad Nacional Andres Bello está adelante de varias U'es Regionales(Calidad similar a la UTAL). Realidad universidades del mundo (18:30): Youtube Quiten Filosofia, Musica y Religión del Curriculum de la Media!! No es recomendado trabajar/colaborar entre matemáticos en general. En general, y a menos que Chile gaste mínimo 2% PIB en I+D, quedarse a investigar en el país, es matarse académicamente. Como recomendación Brasil es un pais muy adelantado en investigación versus AL. Gasto 2023: 0,34%.

hermite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2017, 10:37 AM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558	CITA(2.718281828 @ Aug 6 2017, 02:57 AM) Tomemos el post de legition acerca de generar ternas pitagoricas: sin perdida de generalidad, si m y n son coprimos entonces $TEX: $(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$$ es terna pitagorica y el area es A=mn(m-n)(m+n). Luego es facil deducir que no hay triangulos pitagoricos pues de lo anterior, si lo fuese, debiese ser divisible por m^2 y n^2, es decir, A/mn tendria que ser divisible por m y n, lo que implicaria que el producto (m-n)(m+n) tendria que ser divisible por n y m lo cual es contradiccion pues m-n y m+n no son divisibles por esos numeros. Luego no existe triangulo pitagórico con area igual a un cuadrado perfecto. Saludos CLaudio Por que deduces que debe ser divisible por $n^2$ y $m^2$?

Legition Rompedi... Legition Rompediskoteqa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2017, 12:50 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo:	. Mensaje modificado por Legition Rompediskoteqa el Aug 19 2017, 08:42 PM -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica. From my personal life: I highly recommend this video Click Here! Es altamente deseable tener aptitud para la quimica(termodinámica), la programación, alta comprensión de un problema y planteamiento del mismo, y tener resiliencia al estudiar Ingenieria Civil Industrial. Civil Industrial es en gran parte saber levantar(modelar problemas) procesos logísticos. Puedo dar fe que la Universidad Nacional Andres Bello está adelante de varias U'es Regionales(Calidad similar a la UTAL). Realidad universidades del mundo (18:30): Youtube Quiten Filosofia, Musica y Religión del Curriculum de la Media!! No es recomendado trabajar/colaborar entre matemáticos en general. En general, y a menos que Chile gaste mínimo 2% PIB en I+D, quedarse a investigar en el país, es matarse académicamente. Como recomendación Brasil es un pais muy adelantado en investigación versus AL. Gasto 2023: 0,34%.

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2017, 01:01 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(hermite @ Aug 6 2017, 11:37 AM) Por que deduces que debe ser divisible por $n^2$ y $m^2$? Probablemente utilizando que m, n son enteros y coprimos. Falta explicitar un detallito, que podemos asumir sin pérdida de generalidad que m y n de hecho son coprimos (creo xDDD) -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

hermite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2017, 01:13 PM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 128 Registrado: 27-November 15 Miembro Nº: 142.558	CITA(vocin @ Aug 6 2017, 01:01 PM) Probablemente utilizando que m, n son enteros y coprimos. Falta explicitar un detallito, que podemos asumir sin pérdida de generalidad que m y n de hecho son coprimos (creo xDDD) Caramente eso no vasta, por ejemplo 6^2 = nm claramente es un cuadrado con n = 4, m = 9, n y m son coprimos pero no es divisible por n^2 = 16 ni por m^2 = 81.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2017, 01:54 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Una manera:<br /><br />Supongamos que sí existen triángulos pitagóricos cuya área es un cuadrado perfecto. Sea $A^{2}$ la menor de las áreas que puede tener un triángulo de esa índole. Se tiene entonces que<br /><br />$$x^{2}+y^{2} = z^{2} \quad \mbox{y} \quad xy = 2A^{2}$$<br /><br />\noindent para algunos números naturales $x, y, z$. De la minimalidad de $A^{2}$ se infiere que $x$ y y $y$ son coprimos; además sin pérdida de generalidad se puede suponer que $x$ es impar y $y$ par. Por el conocido resultado sobre las sols. primitivas de la ecuación $X^{2} + Y^{2}=Z^{2}$ se sigue que existen $m, n\in \mathbb{N}$ coprimos y de distinta paridad tales que<br /><br />$$ x= m^{2}-n^{2}, \quad y = 2mn, \quad z= m^{2}+n^{2}.$$<br /><br />\noindent De esto y de la igualdad $xy=2A^{2}$ se obtiene que<br /><br />$$(m-n)(m+n)mn =A^{2}.$$<br /><br />\noindent Luego, al ser $m-n, m+n, m$ y $n$ coprimos por pares, existen $a, b, c, d\in \mathbb{N}$ tales que $m=a^{2}, n=b^{2}, c^{2} = m-n = a^{2}-b^{2}$ y $d^{2}=m+n= a^{2}+b^{2}$. Como $m$ y $n$ son de distinta paridad y $(m-n,m+n)=1$, entonces $(c,d)=1$ y $c$ y $d$ son ambos impares. De esto se sigue que $(d+c)/2, (d-c)/2 \in \mathbb{N}$; luego, puesto que<br /><br />$$((d+c)/2)^{2} + ((d-c)/2)^{2} =a^{2}$$<br /><br />\noindent se desprende por un lado que $(d+c)/2$ y $(d-c)/2$ son de distinta paridad; por otra parte se obtiene que<br /><br />$$\mathbb{N} \ni 1/2 \cdot (d+c)/2 \cdot (d-c)/2 = (d^{2}-c^{2})/8 = b^{2}/4 = n/4 < n \leq A^{2}.$$<br /><br />Como la tripleta $((d-c)/2,(d+c)/2,a)$ está dando lugar a un triángulo pitagórico cuya área es un cuadrado perfecto menor que $A^{2}$ se ha conseguido una contradicción con la minimalidad de $A^{2}$. Fin.<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2017, 02:08 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Otra forma sería utilizando el hecho (conocido) de que la ec. diofántica<br /><br />$$x^{4}-y^{4} = z^{2} \qquad ()$$<br /><br />\noindent no tiene sols. en números naturales $x, y, z$. La dem. iría en este caso así:<br /><br />La existencia de un triángulo pitagórico con área igual a un cuadrado perfecto garantizaría la existencia de números naturales $a, b, c$ y $d$ tales que $a^{2}+b^{2} = c^{2}$ y $ab = 2d^{2}$. Luego, haciendo, $X:=c$, $Y= 2d$ y $Z:=\|a^{2}-b^{2}\|$ se tendría una sol. en números naturales de la ec. en $()$, Q. E. A.<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 6 2017, 04:24 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(hermite @ Aug 6 2017, 02:13 PM) Caramente eso no vasta, por ejemplo 6^2 = nm claramente es un cuadrado con n = 4, m = 9, n y m son coprimos pero no es divisible por n^2 = 16 ni por m^2 = 81. Completamente de acuerdo! Se me había ido la posiblidad de que m o n tuvieran algún factor primo al cuadrado o así xDDD. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

« Posterior · Problemas Propuestos · Anterior »

2 Páginas:

1 2 >

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 03:09 PM