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LVIII IMO (2017), Río de Janeiro, Brasil

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 21 2017, 10:40 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	58ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Río de Janeiro, Brasil Primera Prueba: Martes 18 de julio de 2017 Problema 1: Para cada entero $TEX: $a_0>1$$ , se define la sucesión $TEX: $a_0,a_1,a_2,\ldots$$ tal que para cada $TEX: $n\ge0$$ : $TEX: $a_{n+1} = \left\{\begin{array}{ll} \sqrt{a_n} & \text{ si }\sqrt{a_n}\text{ es entero},\\ <br /> a_n+3& \text{ en otro caso }. \end{array}\right.$$ Determine todos los valores de $TEX: $a_0$$ para los que existe un número $TEX: $A$$ tal que $TEX: $a_n = A$$ para infinitos valores de $TEX: $n$$ . Problema 2: Determine todas las funciones $TEX: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ tales que, para cualesquiera números reales $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ , $TEX: $f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)$$ . Problema 3: Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclídeo. El punto de partida $TEX: $A_0$$ del conejo, y el punto de partida $TEX: $B_0$$ del cazador son el mismo. Después de $TEX: $n-1$$ rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto $TEX: $A_{n-1}$$ y el cazador se encuentra en el punto $TEX: $B_{n-1}$$ . En la $TEX: $n$$ -ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden: (i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto $TEX: $A_n$$ tal que la distancia entre $TEX: $A_{n-1}$$ y $TEX: $A_n$$ es exactamente 1. (ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto $TEX: $P_n$$ al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre $TEX: $P_n$$ y $TEX: $A_n$$ es menor o igual que 1. (iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto $TEX: $B_n$$ tal que la distancia entre $TEX: $B_{n-1}$$ y $TEX: $B_n$$ es exactamente 1. ¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera en que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador pueda escoger sus movimientos de modo que después de $TEX: $10^9$$ rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual que 100? Segunda Prueba: Miércoles 19 de julio de 2017 Problema 4: Sean $TEX: $R$$ y $TEX: $S$$ puntos distintos sobre la circunferencia $TEX: $\Omega$$ tales que $TEX: $RS$$ no es un diámetro de $TEX: $\Omega$$ . Sea $TEX: $\ell$$ la recta tangente a $TEX: $\Omega$$ en $TEX: $R$$ . El punto $TEX: $T$$ es tal que $TEX: $S$$ es el punto medio del segmento $TEX: $RT$$ . El punto $TEX: $J$$ se elige en el menor arco $TEX: $RS$$ de $TEX: $\Omega$$ de manera que $TEX: $\Gamma$$ , la circunferencia circunscrita al triángulo $TEX: $JST$$ , intersecta a $TEX: $\ell$$ en dos puntos distintos. Sea $TEX: $A$$ el punto común de $TEX: $\Gamma$$ y $TEX: $\ell$$ más cercano a $TEX: $R$$ . La recta $TEX: $AJ$$ corta por segunda vez a $TEX: $\Omega$$ en $TEX: $K$$ . Demuestre que la recta $TEX: $KT$$ es tangente a $TEX: $\Gamma$$ . Problema 5: Sea $TEX: $N\ge2$$ un entero dado. Los $TEX: $N(N+1)$$ jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. El técnico desea quitar $TEX: $N(N-1)$$ jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los $TEX: $2N$$ jugadores restantes satisfaga las $TEX: $N$$ condiciones siguientes: (1) Que no quede nadie ubicado entre los jugadores más altos. (2) Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto. ... (N) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura. Demuestre que esto siempre es posible. Problema 6:Un par ordenado $TEX: $(x,y)$$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ es 1. Dado un conjunto finito $TEX: $S$$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $TEX: $n$$ y enteros $TEX: $a_0, a_1,\ldots, a_n$$ tales que, para cada $TEX: $(x,y)$$ de $TEX: $S$$ , se cumple: $TEX: $a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}x^1+\ldots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n = 1$$ . -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)