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IV OIM: 1989, Sin resolver: 3, 4, 5, 6

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 14 2008, 07:46 AM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tenemos otra solución correcta para el problema 2. Creo que no estaba propuesto, así que hay un problema 2' que debiera resultar bastante sencillo (la dificultad radica en que el enunciado no es muy preciso...): Problema 2': Proponga y demuestre una generalización, considerando n ángulos agudos distintos -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2010, 05:50 PM Publicado: #12
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 6: $TEX: $\ 2x^2-3x-3y^2-y+1=0 /\cdot 8 $$ $TEX: $\ (4x)^2 -2\cdot 4x\cdot 3 -(24y^2+8y)+8=0 $$ $TEX: $\ (4x-3)^2-9-(24y^2+8y)+8=0 $$ $TEX: $\ (4x-3)^2-(24y^2+8y)=1 /\cdot 6 $$ $TEX: $\ 6(4x-3)^2-((12y)^2+48y+4)+4=6 $$ $TEX: $\ 6(4x-3)^2-(12y+2)^2=2 $$ $TEX: $\ 3(4x-3)^2-2(6y+1)^2=1 $$ $TEX: Ahora, sea$ $TEX: $\ u=4x-3 $$ $TEX: y$ $TEX: $\ v=6x+1 $$ $TEX: Si encontramos infinitos u,v que cumplan con la ecuación, encontraremos infinitos x,y qe cumplan con la ecuación inicial. Para esto usaremos conceptos de ecuaciones de Pell. Consideremos las siguientes dos ecuaciones;$ $TEX: $\ 3u^2-2v^2=1 (1) $$ $TEX: Que posee solución minimal (1,1) y la ecuación$ $TEX: $\ a^2-6b^2=1 (2) $$ $TEX: Cuya solución minimal es (5,2), esta por ser una ecuiación de Pell, tiene infinitas soluciones (y cumplen la recurrencia de$ $TEX: $\ a_n= 5a_{n-1}+12b_{n-1}$$ $TEX: y$ $TEX: $\ b_n=5b_{n-1}+2a_{n-1} $$ $TEX: y términos generales$ $TEX: $\ a_n= \frac{1}{2} \left((5+2\sqrt{6})^n+(5-2\sqrt{6})^n \right)$$ $TEX: $\ b_n=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(5+2\sqrt{6})^n-(5-2\sqrt{6})^n\right))$$ $TEX: Por lo tanto la ecuacion 1 tiene infinitas soluciones que cumplen la recurrencia de:$ $TEX: $\ u_n = a_n+2b_n $$ $TEX: y$ $TEX: $\ v_n=a_n+3b_n $$ $TEX: Ahora solo falta demostrar que$ $TEX: $\ u_n \equiv 1 (mod 4) $$ $TEX: $\ v_n \equiv 1 (mod 6) $$ , $TEX: para esto,por inducción,primero demostraremos que todos los$ $TEX: $\ b_n $$ $TEX: son pares, el caso base ya está ,el primero es dos, ahora ,supongamos que para k,$ $TEX: $\ b_k=2t $$ , $TEX: por la recurrencia que define,$ $TEX: $ b_{k+1}=5b_k+2a_k=2(5t+a_k) $$ $TEX: Por lo tanto, todos los$ $TEX: $\ b_k $$ $TEX: son pares.$ $TEX: Ahora demostraremos que todos los$ $TEX: $\ a_k $$ $TEX: son impares de la forma 4k+1. El caso base ya está, es 5, ahora supongamos sierto para un k,$ $TEX: sea$ $TEX: $ a_k=4r+1 $$ $TEX: por la recurrencia que define$ $TEX: $\ b_k, $$ $TEX: $\ a_{k+1}=5a_k+12b_k=5(4r+1)+12t=4(5r+3t+1)+1 $$ $TEX: Como la recurrencia que define$ $TEX: $\ u_n, $$ $TEX: $\ u_n=a_n+2b_n=4r+1+4t=4(r+t)+1$$ $TEX: por lo tanto todos los dejan resto 1 al dividirlos por 4.$ $TEX: Ahora por inducción demostraremos que todos los$ $TEX: $\ a_{2n+1} $$ $TEX: dejan resto 5 al dividirlos por 6, el caso base es 5,y por ende,$ $TEX: $\ a_{2n+2} $$ $TEX: deja resto 1 al dividirlo por 6, ahora supongamos sierto para un k sea$ $TEX: $\ a_{2k+1}=6s+5 \Rightarrow a_{2k+2}=5a_{2k+1}+12b_{2k+1}=5(6s+5)+6(2b_{2k+1})=6(5s+2b_{2k+1}+4)+1 \Rightarrow a_{2k+3}=5(6(5s+2b_{2k+1}+4)+1)+12b_{2k+2}=6(25s+10b_{2k+1}+2b_{2k+2}+20)+5 $$ $TEX: En esta demostracción demostramos de paso que todos los$ $TEX: $\ a_{2n} $$ $TEX: dejan resto 1 al dividirlos por 6.$ $TEX: Por lo tanto,$ $TEX: $\ v_{2n}=a_{2n}+3b_{2n}= 6k+1+6t=6(k+t)+1 $$ $TEX: Por lo tanto todos los términos$ $TEX: $\ u_{2n} $$ $TEX: y$ $TEX: $\ v_{2n} $$ $TEX: cumplen lo pedido.$ Ahi me salio mati =) Mensaje modificado por Diego Navarro el Sep 7 2010, 03:08 PM

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2010, 10:22 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Diego Navarro @ Sep 5 2010, 06:50 PM) Problema 6: $TEX: $\ 2x^2-3x-3y^2-y+1=0 /\cdot 8 $$ $TEX: $\ (4x)^2 -2\cdot 4x\cdot 3 -(24y^2+8y)+8=0 $$ $TEX: $\ (4x-3)^2-9-(24y^2+8y)+8=0 $$ $TEX: $\ (4x-3)^2-(24y^2+8y)=1 /\cdot 6 $$ $TEX: $\ 6(4x-3)^2-((12y)^2+48y+4)+4=6 $$ $TEX: $\ 6(4x-3)^2-(12y+2)^2=2 $$ $TEX: $\ 3(4x-3)^2-2(6y+1)^2=1 $$ $TEX: Ahora, sea$ $TEX: $\ u=4x-3 $$ $TEX: y$ $TEX: $\ v=6x+1 $$ $TEX: Si encontramos infinitos u,v que cumplan con la ecuación, encontraremos infinitos x,y qe cumplan con la ecuación inicial. Para esto usaremos conceptos de ecuaciones de Pell. Consideremos las siguientes dos ecuaciones;$ $TEX: $\ 3u^2-2v^2=1 (1) $$ $TEX: Que posee solución minimal (1,1) y la ecuación$ $TEX: $\ a^2-6b^2=1 (2) $$ $TEX: Cuya solución minimal es (5,2), esta por ser una ecuiación de Pell, tiene infinitas soluciones (y cumplen la recurrencia de$ $TEX: $\ a_n= 5a_{n-1}+12b_{n-1}$$ $TEX: y$ $TEX: $\ b_n=5b_{n-1}+2a_{n-1} $$ $TEX: y términos generales$ $TEX: $\ a_n= \frac{1}{2} \left((5+2\sqrt{6})^n+(5-2\sqrt{6})^n \right)$$ $TEX: $\ b_n=\frac{1}{2\sqrt{6}}\left(5+2\sqrt{6})^n-(5-2\sqrt{6})^n\right))$$ $TEX: Por lo tanto la ecuacion 1 tiene infinitas soluciones que cumplen la recurrencia de:$ $TEX: $\ u_n = a_{n-1}+2b_{n-1} $$ $TEX: y$ $TEX: $\ v_n=a_n+3b_n $$ Ahi me salio mati =) Aunque no soy mati... hay un problema: al resolver la ecuación con incógnitas u, v, debes asegurarte que cumplan cierta congruencia mod. 4 y mod. 6, de modo que realmente existan x, y (esto, porque u=4x-3, v=6y+1). Esto quizás nos oblique a despreciar algunas soluciones de la ecuación con incógnitas u, v. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2010, 03:09 PM Publicado: #14
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Gracias por el comentario xsebastian, ahora creo que si

Diego Navarro Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 16 2010, 07:05 PM Publicado: #15
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 8-May 10 Miembro Nº: 70.464 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P3: Primero demostraremos que $TEX: $\ \left\| \dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b-c}{b+c}+\dfrac{c-a}{c+a}\right\|=\left\|\dfrac{a-b}{a+b}\cdot \dfrac{b-c}{b+c} \cdot \dfrac{a-c}{c+a}\right\| $$ $TEX: $\ \left\| \dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b-c}{b+c}+\dfrac{c-a}{c+a}\right\|= \left\|\dfrac{(a-b)(b+c)(c+a)+(b-c)(a+b)(c+a)+(c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right\| $$ $TEX: $\ =\left\|\dfrac{(c+a)[(a-b)(b+c)+(b-c)(a+b)]+(c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right\| $$ $TEX: $\ = \left\|\dfrac{(c+a)[2ab-2bc]+(c-a)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right\| $$ $TEX: $\ = \left\|\dfrac{(a-c)[2bc+2ab]-(a-c)(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right\| $$ $TEX: $\ = \left\|\dfrac{(a-c)[2bc+2ab-(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right\| $$ $TEX: $\ = \left\|\dfrac{(a-c)[ab+bc-ac-b^2]}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right\| $$ $TEX: $\ = \left\|\dfrac{(a-c)(b-c)(a-b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right\| = \left\|\dfrac{a-b}{a+b}\cdot \dfrac{b-c}{b+c} \cdot \dfrac{a-c}{c+a}\right\| $$ Ahora sin pérdida de generalidad asumamos que $TEX: $\ a<b<c $$ (si fuese isóceles entonces sería cero y a la vez menor que $TEX: $\ \frac{1}{16} $$ ) entonces existen $TEX: $\ x,y>0 $$ tales que $TEX: $\ b=a+x \ , \ c=a+x+y $$ . La desigualdad a demostrar sería; $TEX: $\ \dfrac{xy(x+y)}{(2a+x)(2a+2x+y)(2a+x+y)} < \dfrac{1}{16}$$ Por desigualdad triangular $TEX: $\ a+b>c \Rightarrow a+a+x>a+x+y \Rightarrow a>y $$ por lo tanto, $TEX: $\ \dfrac{xy(x+y)}{(2a+x)(2a+2x+y)(2a+x+y)} < \dfrac{xy(x+y)}{(2y+x)(2y+2x+y)(2y+x+y)} $$ Por otro lado, $TEX: $\ \dfrac{xy(x+y)}{(2y+x)(3y+2x)(3y+x)} < \dfrac{xy(x+y)}{(2y+x)(2y+2x)(2y+x)} = \dfrac{xy}{2(2y+x)^2}$$ Ahora demostraremos que $TEX: $ \dfrac{xy}{2(2y+x)^2} \le \dfrac{1}{16}$$ $TEX: $\ (2y-x)^2 \ge 0 \Rightarrow 4^2+4yx+x^2 \ge 8xy $$ $TEX: $\ (2y+x)^2 \ge 8xy \Rightarrow \dfrac{1}{16} \ge \dfrac{xy}{2(2y+x)^2} $$

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