IV OIM: 1989 - Foro fmat.cl

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IV OIM: 1989, Sin resolver: 3, 4, 5, 6

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2005, 07:45 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Se solicita que alguien acabe definitivamente con el problema 5 4ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS La Habana, Cuba, 1989 Primera Prueba: Lunes 10 de Abril Problema 1: Determine todas las soluciones $TEX: $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$$ del siguiente sistema de ecuaciones $TEX: $\begin{array}{ccccccc}<br />x & + & y & - & z & = & -1 \\<br />x^2 & - & y^2 & + & z^2 & = & 1 \\<br />-x^3 & + & y^3 & + & z^3 & = & -1<br />\end{array}$$ Problema 2: Sean $TEX: $x,y,z\in\mathbb{R}$$ tales que $TEX: $0<x<y<z<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$$ . Pruebe que: $TEX: $\dfrac{\pi}{2}+2\cdot senx\cdot cosy+2\cdot seny\cdot cosz>sen(2x)+sen(2y)+sen(2z)$$ Problema 3: Sean $TEX: $a,b,c$$ las longitudes de los lados de un triángulo. Pruebe que: $TEX: $\displaystyle{\left\|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right\|<\frac{1}{16}}$$ Segunda Prueba: Martes 11 de Abril Problema 4: El $TEX: $\triangle ABC$$ tiene incentro $TEX: $I$$ . El incírculo es tangente a $TEX: $\overline{AC},\overline{BC}$$ en $TEX: $M,N$$ , respectivamente. Las bisectrices desde $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ intersecan a $TEX: $\overleftrightarrow{MN}$$ en $TEX: $P$$ y $TEX: $Q$$ , respectivamente. Pruebe que $TEX: $MP\cdot IA=BC\cdot IQ$$ Problema 5: Sea $TEX: $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$$ una función que cumple lo siguiente: $TEX: $f(1)=1$$ $TEX: $\forall n\in\mathbb{Z}^+:f(2n+1)=f(2n)+1$$ $TEX: $\forall n\in\mathbb{Z}^+:f(2n)=3\cdot f(n)$$ Determine el recorrido de $TEX: $f$$ Problema 6: Muestre que existen infinitos $TEX: $(x,y)\in\mathbb{N}^2$$ que satisfacen la ecuación: $TEX: $2x^2-3x-3y^2-y+1=0$$ Resumen de soluciones Problema 1: 1 solución Aquí, resuelto por Corecrasher Problema 2: 1 solución Aquí, resuelto por Claudio Espinoza Problema 3: Pendiente de solución Problema 4: Pendiente de solución Problema 5: Pendiente de solución Problema 6: Pendiente de solución -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Corecrasher	Feb 27 2006, 02:37 PM Publicado: #2
Invitado	$TEX: $\boxed{\mathcal{S}(P_1)}$$ De la primera ecuacion concluimos que $TEX: $z=x+y+1$$ , luego sustituimos en la segunda ecuacion , entonces: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />x^2-y^2+z^2=1\\<br />x^2-y^2+(x+y+1)^2=1\\<br />x^2-y^2+x^2+y^2+1^2+2xy+2x+2y=1\\<br />x^2+xy+x+y=0\\<br />(x+y)(x+1)=0<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Luego $TEX: $x=-1$$ o tambien $TEX: $x=-y$$ . Si $TEX: $x=-1$$ entonces en la primera ecuacion $TEX: $y=z$$ , luego sustituyendo en la tercera ecuacion: $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />-(-1)^3+y^3+y^3=-1\\<br />y^3=-1\\<br />\boxed{y=-1}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ Osea $TEX: $(x,y,z)$$ = $TEX: $(-1,-1,-1)$$ Si $TEX: $x=-y$$ , en la primera ecuacion $TEX: $z=1$$ , sustituyendo en la tercera: $TEX: \noindent<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />-(-y)^3+y^3+1=-1\\<br />\boxed{x=1} , \boxed{y=-1}<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />$ Entonces las soluciones reales del sistema son $TEX: $(-1,-1,-1)$$ y $TEX: $(1,-1,1)$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 27 2006, 10:36 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tenemos el problema 1 resuelto correctamente por Corecrasher... mucho ánimo para seguir resolviendo problemas. No olvides que los primeros objetivos del año son la APMO y la Olimpiada del Cono Sur (en Argentina) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 16 2006, 11:30 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Nov 16 2005, 08:45 PM) Problema 5: Sea $TEX: $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$$ una función que cumple lo siguiente: $TEX: $f(1)=1$$ $TEX: $\forall n\in\mathbb{Z}^+:f(2n+1)=f(2n)+1$$ $TEX: $\forall n\in\mathbb{Z}^+:f(2n)=3\cdot f(n)$$ Determine el recorrido de $TEX: $f$$ Usando el método de zapateñe: $TEX: $f(2)=3f(1)=3$$ $TEX: $f(4)=3f(2)=9$$ $TEX: $f(8)=3f(4)=27$$ Luego se concluye: $TEX: $\boxed{f(2^n)=3^n}$$ Luego para $TEX: $k$$ impar: $TEX: $f(2^nk)=3f(2^{n-1}k)=...=3^nf(k)$$ Entonces para cualquier $TEX: $a=2^nk$$ : $TEX: $f(a)=3^nf(k)$$ Luego si $TEX: $k=2^mh+1$$ : $TEX: $f(a)=3^n(f(2^mh)+1)$$ $TEX: $f(a)=3^n(3^mf(h)+1)$$ $TEX: $f(a)=3^{n+m}f(h)+3^n$$ Luego si $TEX: $h=2^qj+1$$ : $TEX: $f(a)=3^{n+m+q}f(j)+3^{n+m}+3^n$$ Y si seguimos asi hasta llegar a un cierto $TEX: $i=1$$ , tendremos: $TEX: $f(a)=3^{n+m+q+...+p+r}+3^{n+m+q+...+p}+...+3^{n+m+q}+3^{n+m}+3^n$$ Osea el recorrido de la función son todos los números de la forma: $TEX: $n=3^{a_1}+3^{a_2}+....+3^{a_n}$$ , donde: $TEX: $a_1>a_2>...>a_n\ge 0$$ Dicho de otra manera; son todos los números del sistema en base tres (o ¿ternario?) que son escritos con $TEX: $1$$ y $TEX: $0$$ , pero sin $TEX: $2$$ Saludos PD: En general, si: $TEX: $f(1)=1$$ $TEX: $f(2n)=mf(n)$$ $TEX: $f(2n+1)=f(2n)+1$$ El recorrido de $TEX: $f$$ son todos los números escritos con $TEX: 0$ y $TEX: 1$ en el sistema de base $TEX: $m$$ (o ¿m-simal?)

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2006, 09:08 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Luffy @ Oct 17 2006, 12:30 AM) Usando el método de zapateñe: $TEX: $f(2)=3f(1)=3$$ $TEX: $f(4)=3f(2)=9$$ $TEX: $f(8)=3f(4)=27$$ Luego se concluye: $TEX: $\boxed{f(2^n)=3^n}$$ Un corrector exigente (de esos que abundan en las olimpiadas de matemáticas) te pediría una justificación de esto. La inducción es un camino para lograrlo, si bien no es el único, y en una instancia informal se entiende muy bien CITA(Luffy @ Oct 17 2006, 12:30 AM) Y si seguimos asi hasta llegar a un cierto $TEX: $i=1$$ , tendremos: $TEX: $f(a)=3^{n+m+q+...+p+r}+3^{n+m+q+...+p}+...+3^{n+m+q}+3^{n+m}+3^n$$ Osea el recorrido de la función son todos los números de la forma: $TEX: $n=3^{a_1}+3^{a_2}+....+3^{a_n}$$ , donde: $TEX: $a_1>a_2>...>a_n\ge 0$$ Dicho de otra manera; son todos los números del sistema en base tres (o ¿ternario?) que son escritos con $TEX: $1$$ y $TEX: $0$$ , pero sin $TEX: $2$$ Para lo primero, es el mismo comentario de antes: muy bien como idea intuitiva, pero un corrector exigente no lo pasa. Sobre lo segundo (la conclusión sobre el recorrido de $TEX: $f$$ ) has demostrado que el recorrido es subconjunto del conjunto de números cuya representación triádica tiene sólo dígitos 0 y 1. Pero faltaría la inclusión inversa. La generalización es muy plausible, cuando uno entiende la idea del problema, pero antes quiero ver una solución que pueda pasar más pruebas de fuego -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 17 2006, 06:53 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La primera parte, se completa la inducción: $TEX: $f(2^{k+1})=3f(2^k)=3\cdot 3^k= 3^{k+1}$$ Lo segundo: Suponga que existiera algún número escrito con ceros y unos en representación triádica que no sea parte del Recorrido de la función, esto quiere decir, que no existe un entero positivo tal que su función sea dicho número. Sin pérdida de generalidod puedo decir que, sea su representación decimal: $TEX: $3^{a_1+a_2+...+a_n}+3^{a_1+a_2+...+a_{n-1}}+...+3^{a_1+a_2}+3^{a_1}=$$ $TEX: $3^{a_1+a_2+...+a_{n-1}}(3^{a_n}+1)+...+3^{a_1}=$$ Luego aplicando: $TEX: $f(2^n)=3^n$$ $TEX: $3^{a_1+a_2+...+a_{n-1}}(f(2^{a_n})+1)+...+3^{a_1}=$$ $TEX: $3^{a_1+a_2+...+a_{n-1}}f(2^{a_n}+1)+3^{a_1+a_2+...+a_{n-2}}+...+3^{a_1}=$$ $TEX: $3^{a_1+a_2+...+a_{n-2}}(3^{a_{n-1}}f(2^{a_n}+1)+1)+...+3^{a_1}=$$ $TEX: $3^{a_1+a_2+...+a_{n-2}}(f(2^{a_{n-1}+a_n}+2^{a_{n-1}})+1)+3^{a_1+a_2+...+a_{n-3}}+...+3^{a_1}=$$ $TEX: $3^{a_1+a_2+...+a_{n-2}}f(2^{a_{n-1}+a_n}+2^{a_{n-1}}+1)+3^{a_1+a_2+...+a_{n-3}}+...+3^{a_1}=$$ Luego se sigue con el mismo procedimiento de factorizar por la potencia de $TEX: $3$$ menor, luego aplicar $TEX: $3^nf(k)=f(2^nk)$$ y luego aplicar $TEX: $f(2n)+1=f(2n+1)$$ , obtenemos: $TEX: $f(2^{a_1+a_2+...+a_n}+2^{a_1+a_2+...+a_{n-1}}+...+2^{a_1})=3^{a_1+a_2+...+a_n}+...+3^{a_1+a_2}+3^{a_1}$$ $TEX: $\rightarrow\leftarrow$$ ya que $TEX: $2^{a_1+a_2+...+a_n}+2^{a_1+a_2+...+a_{n-1}}+...+2^{a_1} \in \mathbb{Z}^+$$ $TEX: $\therefore$$ El recorrido de $TEX: $f$$ son todos los números escritos con ceros y unos en su representación triádica. Ojala que ahora si

Claudio Espinoza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2006, 04:10 AM Publicado: #7
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 21 Registrado: 22-October 06 Desde: SJL - Lima Miembro Nº: 2.613 Nacionalidad: Sexo:	Problema 2 $TEX: $sen(2x)+sen(2y)+sen(2z)-2senxcosy-2senycosz=$$ $TEX: $\frac{1}{2}((sen(2x)+sen(2y))+(sen(2y)+sen(2z))+(sen(2z)+sen(2x)))-(sen(x+y)+sen(x-y))-(sen(y+z)+sen(y-z))=$$ $TEX: $sen(x+y)cos(x-y)+sen(y+z)cos(y-z)+sen(z+x)cos(z-x)-sen(x+y)+sen(y-x)-sen(y+z)+sen(z-y)=$$ $TEX: $sen(x+y)[cos(x-y)-1]+sen(y+z)[cos(y-z)-1]+sen(z+x)cos(z-x)+[sen(y-x)+sen(z-y)]\le $$ Podemos hacer puesto que $TEX: $0<x+y<\pi$ implica $0<sen(x+y)\le 1$$ Análogo con $TEX: y$ , $TEX: z$ y tex]z[/tex], $TEX: x$ $TEX: $cos(z-x)+2sen(\frac{z-x}{2})cos(\frac{z+x-2y}{2})\le $$ $TEX: $1-2sen^2(\frac{z-x}{2})+2sen(\frac{z-x}{2})=$$ $TEX: $\frac{3}{2}-2[sen(\frac{z-x}{2})-\frac{1}{2}]^2\le$$ $TEX: $\ 1,5 < \frac{\pi}{2}$$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2006, 05:49 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tenemos una solución correcta para el problema 2 de esta OIM. Tal vez a los menos experimentados les sea un poco difícil seguir la solución, así que les diré algunas cosas que se usan sin mención explícita: Fórmulas del seno y coseno de una suma de ángulos (así también de ángulo doble) Consecuencia de lo anterior, las siguientes fórmulas: $TEX: $\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$ $TEX: $sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}2\right)$$ Ahora bien, sería excelente encontrar una nueva solución a este problema... no sería muy valioso que yo lo haga, porque yo no aprendería con eso, así que espero que otro lo haga Saludos -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2007, 10:24 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 4: $TEX: Sean $\angle A=2\alpha $; $\angle B=2\beta $; $\angle C=2\gamma $ $\Rightarrow$ $\alpha+\beta+\gamma=90$. Luego trazamos $IM$, $IN$; y como el cuadril\'atero $IMCN$ es c\'iclico (ya que $\angle IMC=\angle INC=90$), entonces $\angle IMN=\angle ICN=\gamma $. Luego en el $\triangle AME$ se tiene $\alpha +90+\gamma +\angle AEM =180$ $\Rightarrow$ $\angle AEM =\beta $ $\Rightarrow$ $ABED$ es c\'iclico $\Rightarrow$ $\angle IDE=\alpha $. Luego tenemos las semejansas, $\triangle IAB \sim \triangle IDE$, $\triangle IBC \sim \triangle IEM$; entonces:\\<br />\begin{center}<br />$\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{ID}{IE} \wedge \dfrac{IB}{BC}=\dfrac{IE}{ME}$\\<br />\text{}\\<br />$\Rightarrow$ $\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{BC}{ME}$\\<br />\text{}\\<br />$\therefore$ $IA \cdot ME = BC \cdot ID$<br />\end{center}<br />$ PD: $TEX: $E=P$$ ; $TEX: $D=Q$$ según definición. Saludos

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 13 2008, 11:18 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución P2: Tomamos el primer cuadrante de una circunferencia de radio 1: Entonces haciendo una analisis de las áreas tenemos que: $TEX: $Sen a (Cos a- Cos b)+Sen b(Cos b- Cos c)+Sen c Cos c< \dfrac{\pi \cdot 1^2}{4}$$ $TEX: $2Sen a Cos a +2 Sen b Cos b + 2 Sen c Cos c < \dfrac{\pi}{2}+2Sen a Cos b+ 2 Sen b Cos c$$ $TEX: $\boxed{Sen 2a +Sen 2b+ Sen 2c<\dfrac{\pi}{2}+2Sen a Cos b+ 2 Sen b Cos c}$$

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