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Un hermoso cuadrado perfecto

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2017, 01:51 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	1.Sea $TEX: $n$$ un entero. Si $TEX: $2 + 2\sqrt{1 + 12n^2}$$ es un entero, pruebe que esto es un cuadrado perfecto 2.Encontrar todos los pares de enteros positivos $TEX: $(m,n)$$ tales que $TEX: $2^m+3^n$$ es un cuadrado perfecto Mensaje modificado por pprimo el Jun 18 2017, 09:28 PM

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2017, 04:13 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	2. $TEX: Puesto que $2^{m}+3^{n} \equiv 2^{m} \equiv 1, 2\pmod{3}$ entonces $m$ debe ser necesa\-riamente un número par. La posibilidad de que $m$ sea igual a $2$ se descarta notando que $2^{2}+3^{n} \equiv 5, 7 \pmod{8}$. De esto se sigue que es válido suponer en lo sucesivo que $m\geq3$. Luego, puesto que $2^{m} +3^{n} \equiv 3^{n} \equiv 1, 3 \pmod{8}$, se tiene que si $2^{m}+3^{n}$ es un cuadrado perfecto, entonces tanto $m$ como $n$ son pares (y $m\geq 3$). Así pues, si $n=2N$ y $2^{m}=x^{2}-3^{2N}=(x-3^{N})(x+3^{N})$ para algún $x \in \mathbb{Z}^{+}$, se sigue que $x-3^{N} = 2^{\alpha}$ y $x+3^{N}=2^{\beta}$ para algunos $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^{+}$ tales que $\alpha +\beta = m$. De esto se obtiene que $2 \cdot 3^{N} = 2^{\alpha}(2^{\beta-\alpha}-1)$ y, en consecuencia, $\alpha =1, \beta=m-1$ y $3^{N}=2^{m-2}-1$. Al ser $m-2$ un número natural par, lo de la derecha en la igualdad anterior se puede factorizar como $(2^{\frac{m-2}{2}}-1)(2^{\frac{m-2}{2}}+1)$. Como $2 = (2^{\frac{m-2}{2}}+1) - (2^{\frac{m-2}{2}}-1) = 3^{N_{1}}-3^{N_{2}}$ para algunos $N_{1},N_{2} \in \mathbb{Z}^{+}$, entonces $N_{1}=1$ y $N_{2}=0$; por consiguiente, $m=4$. El problema se ha reducido entonces a resolver la ecuación $16+3^{n} = x^{2}$ (en números naturales $n$ y $x$). Puesto que $(x^{2}-16) =(x-4)(x+4)$ y las únicas potencias de $3$ que difieren en $8$ son $3^{2}$ y $3^{0}$ se obtiene que $3^{n} = 3^{2} \cdot 3^{0}$. De todo lo anterior se concluye que la única pareja $(m,n)$ de núm. naturales tales que $2^{m}+3^{n}$ es un cuadrado perfecto es $(m=4, n=2)$.$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2017, 07:11 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	1. $TEX: <br />Si $m = 2+2\sqrt{1+12n^{2}} \in \mathbb{N}$, entonces $(\frac{m}{2}-1,n)$ es sol. de la ec. de Pell $X^{2}-12Y^{2}=1$. Puesto que la sol. fundamental de esta ecuación es $(X=7,Y=2)$ entonces<br /><br />$$ \left(\frac{m}{2} - 1\right) + n\sqrt{12} = (7+2\sqrt{12})^{k}$$<br /><br />\noindent para algún $k \in \mathbb{N}$. De esto se obtiene que<br /><br />$$ m = 2 + 2(7+2\sqrt{12})^{k}-2n\sqrt{12} = 2 + 2(7+2\sqrt{12})^{k} - [(7+2\sqrt{12})^{k}-(7-2\sqrt{12})^{k}]\\$$<br /><br />$$= 2 + (7+2\sqrt{12})^{k} + (7-2\sqrt{12})^{k}= [(2+\sqrt{3})^{k} + (2-\sqrt{3})^{k}]^{2}\\$$<br /><br />\noindent y el resultado se sigue (es fácil ver que la expresión dentro del último par de corchetes es siempre un número natural).<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 26 2017, 01:07 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(coquitao @ Jun 21 2017, 07:11 PM) $TEX: $2n\sqrt{12}=\left( 7+2\sqrt{12} \right)^{k}-\left( 7-2\sqrt{12} \right)^{k}$$ ambas soluciones correctas pero podria probar este paso, no me parece tan obvio saludos

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2017, 10:23 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: $(7+2\sqrt{12})(7-2\sqrt{12}) = 1$, eleva después ambos lados a la $k$ y utiliza lo que está en la cuarta línea de la sol. Llegas a que $(7-2\sqrt{12})^{k} = \left(\frac{m}{2} - 1\right) - n\sqrt{12}$, etc.$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 3 2017, 09:22 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	slds

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