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De un librito de por ahí

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2017, 11:00 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	No sé si les motive hacer una maratón de desigualdades, están todos invitados, no hay puntajes, el que responde, propone. 1. Sea $TEX: $$n\ge 2$$$ y $TEX: $$0<a<b$$$ tal que $TEX: $$x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \left[ a,b \right]$$$ Demuestre que para n par $TEX: $$\frac{\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}^{2}}{x_{n}}+\frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}}\le \frac{\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}}{a+b}$$$ n impar $TEX: $$\frac{\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{3}}+...+\frac{x_{n-1}^{2}}{x_{n}}+\frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}+x_{n}}\le \frac{\frac{n-1}{2}\left( \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a} \right)+a}{\left( \frac{n-1}{2}+1 \right)a+\frac{n-1}{2}b}$$$ 2. Sean $TEX: $$a,b,c$$$ los lados de un triángulo. Demuestre que $TEX: $$\left( \sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}+\sqrt{a+b-c} \right)^{2}\left( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b} \right)\le \frac{27}{2}$$$ 3. Sean $TEX: $$a,b,c,d$$$ números reales positivos, tales que $TEX: $$a+b+c+d=2$$$ Demuestre que $TEX: $$\frac{\left( a+c \right)^{2}}{ad+bc}+\frac{\left( b+d \right)^{2}}{ac+bd}+4\ge 4\left( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right)$$$ 4. Sean $TEX: $$a,b,c,d$$$ números reales positivos, tales que $TEX: $$a+b+c=abc$$$ Demuestre que $TEX: $$\sqrt{\left( 1+a^{2} \right)\left( 1+b^{2} \right)}+\sqrt{\left( 1+b^{2} \right)\left( 1+c^{2} \right)}+\sqrt{\left( 1+c^{2} \right)\left( 1+a^{2} \right)}-\sqrt{\left( 1+a^{2} \right)\left( 1+b^{2} \right)\left( 1+c^{2} \right)}\ge 4$$$ 5. Sean $TEX: $$x,y,z\in \mathbb{R}$$$ , tales que $TEX: $$xyz=1$$$ Demuestre que $TEX: $$\left( x^{4}+\frac{z^{2}}{y^{2}} \right)\left( y^{4}+\frac{x^{2}}{z^{2}} \right)\left( z^{4}+\frac{y^{2}}{x^{2}} \right)\ge \left( 1+\frac{x^{2}}{y} \right)\left( 1+\frac{y^{2}}{z} \right)\left( 1+\frac{z^{2}}{x} \right)$$$ 6. Sean $TEX: $$x,y,z\ge \frac{1}{2}$$$ tales que $TEX: $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$$$ Demuestre que $TEX: $$\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right)\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 2$$$ Saludos

SuKeVinBellaKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2017, 06:09 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 524 Registrado: 2-October 13 Miembro Nº: 122.939 Nacionalidad: Sexo:	te pareces mucho a un usuario del foro que se llamaba daniel vivanco, que le gustaba resolver el mismo tipo de problemas que propones, es algo único y curioso, deberías hablar con él

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 25 2017, 11:09 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	5. $TEX: Apliquemos el típico cambio de variables: $x=\frac{a}{b} \ ; \ x=\frac{b}{c} \ ; \ z=\frac{c}{a}$ de donde sigue que la desigualdad pedida es equivalente a $$(a^6 + b^2c^4)(b^6 + c^2a^4)(c^6 + a^2b^4)\geq a^3b^3c^3(b^3+a^2c)(c^3+ab^2)(a^3+bc^2)$$ $$\iff \left(\frac{a^6 + b^2c^4}{a^3+bc^2}\right)\left(\frac{b^6 + c^2a^4}{b^3+a^2c}\right)\left(\frac{c^6 + a^2b^4}{c^3+ab^2}\right)\geq a^3b^3c^3$$ En efecto, por C-S en la forma de engel se tiene que $\dfrac{a^6 + b^2c^4}{a^3+bc^2}\geq \dfrac{(a^3 + bc^2)^2}{2(a^3 + bc^2)}=\dfrac{a^3 + bc^2}{2}\underbrace{\geq}_{A\geq G} \sqrt{a^3bc^2}$. Haciendo lo mismo con los otros factores, se multiplica todo y se obtiene lo pedido $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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