Prueba 3 Calculo I 2015

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Prueba 3 Calculo I 2015, Facultas de Ciencias - Alvaro Castañeda (Primer semestre)

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Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 19 2017, 08:00 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Cálculo I, Prueba 3 Problema 1: Critique, es decir, si la afirmación es verdadera entonces demuéstrela. Si la afirmación es falsa, muestre un contraejemplo y luego cambie la(s) hipótesis para hacer la afirmación verdadera. i) La intersección infinita de intervalos abiertos es un conjunto abierto. ii) $TEX: $\mathbb{R}-\mathbb{Z}$$ es un conjunto abierto. iii) Todo conjunto finito $TEX: $F=\{ x_1,x_2,...,x_n \}$$ donde $TEX: $x_i\in \mathbb{R}$$ y $TEX: $x_1<x_2<...<x_n$$ es un conjunto cerrado. Problema 2: Sea $TEX: $c\geq 1$$ y considere la sucesión $TEX: $(a_n)$$ definida por recurrencia $TEX: $a_1=\sqrt{c} \\<br />a_n=\sqrt{ca_{n-1}}$$ i) Muestre que la sucesión $TEX: $(a_n)$$ es acotada superiormente por $TEX: $c$$ . ii) Muestre que la sucesión $TEX: $(a_n)$$ es creciente. iii) Explique la existencia del límite de la sucesión $TEX: $(a_n)$$ y calcúlelo. iv) Calcule el límite de la sucesión $TEX: $\sqrt{3},\sqrt{3\sqrt{3}},\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}},...$$ Problema 3: Sea $TEX: $\alpha \in [0,1)$$ y $TEX: $(x_n)$$ una sucesión en $TEX: $\mathbb{R}$$ tal que $TEX: $$\|x_{n+2}-x_{n+1}\|\leq \alpha\|x_{n+1}-x_n\|, \hspace{2mm} \forall n \in \mathbb{N}$$$ Pruebe que $TEX: $(x_n)$$ es una sucesión de Cauchy. Mensaje modificado por Niklaash el May 19 2017, 08:01 PM

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2017, 10:50 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P3 $TEX: Dados $m,n\in\mathbb{N}$ wlog $m>n$ veamos que $\|x_m - x_n\|=\|(x_m - x_{m-1})+(x_{m-1}-x_{m-2})+...+(x_{n+1}-x_{n})\|$, luego, por la desigualdad triangular $$\|x_m - x_n\|\leq \|x_m - x_{m-1}\|+\|x_{m-1} - x_{m-2}\|+...+\|x_{n+1} - x_{n}\|$$ Ocupando la desigualdad del enunciado varias veces se tiene que:\\<br />$\|x_{n+i+1}-x_{n+i}\|\leq \alpha^{i}\|x_{n+1}-x_n\|$, luego: $$\|x_m - x_n\|\leq (\alpha + \alpha^2 + ... + \alpha^{m-n-1})\|x_{n+1}-x_{n}\|$$ $$\|x_m - x_n\|\leq \dfrac{\alpha^{m-n}-\alpha}{\alpha-1}\|x_{n+1}-x_{n}\|$$ Además se tiene que $\|x_{n+1}-x_{n}\|\leq \alpha^n \|x_1-x_0\|$. Finalmente: $$\|x_m - x_n\|\leq \dfrac{\alpha^{m-n}-\alpha}{\alpha-1}\alpha^n\|x_{1}-x_{0}\|=\dfrac{\alpha^{m}-\alpha^{n+1}}{\alpha -1}\|x_1 - x_0\|$$ Si $m,n\longrightarrow \infty$ se tiene que $\|x_m - x_n\|\longrightarrow 0$ y estamos $\square$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2017, 02:02 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P1 $TEX: i) Basta tomar $\displaystyle \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(-\dfrac{1}{n},\dfrac{1}{n}\right)$ que sabemos que es $\{ 0 \}$ (cerrado) y por tanto la afirmación es falsa. Esto será verdadero si uno considera una intersección finita.\\<br /><br />ii) Es claro que $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo el e.v.n. $\mathbb{R}$. El conjunto pedido es $\mathbb{R} - \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^c$ y se sabe que el complemento de un cerrado es abierto, luego el conjunto es abierto.\\<br /><br />iii) Las únicas sucesiones convergentes $\{a_{k}\}_{k\in\mathbb{N}}\subset F$ son las sucesiones constantes e iguales a los elementos de $F$, por tanto $F$ es cerrado. Algo más fino es considerar el intervalo $A=[x_1 , x_n]$ y $\displaystyle B=\bigcup_{i=1}^{n-1}(x_{i} , x_{i+1})$ y notar que $F=A-B=A\cap B^c$. $A$ es cerrado y $B$ es la unión de abiertos, luego es abierto y por tanto su complemento es cerrado, la intersección de cerrados es cerrado y se concluye.$ P2 $TEX: i) Por inducción supongamos que $a_n < c$, probemos que $a_{n+1}<c$. En efecto, se sabe que $a_{n+1}=\sqrt{ca_n}<\sqrt{c\cdot c}=c$ y estamos.\\<br /><br />ii) También por inducción, supongamos que $a_n < a_{n+1}$ y probemos que $a_{n+1} < a_{n+2}$. En efecto, $a_{n+2}=\sqrt{ca_{n+1}}>\sqrt{ca_n}=a_{n+1}$ y estamos.\\<br /><br />iii) Por i) y ii) se tiene que $a_n$ es acotada y monótona luego es convergente. Para calcular el límite $L$ simplemente usamos que si $a_{n}\longrightarrow L$ entonces $a_{n+1}\longrightarrow L$, luego: $L=\sqrt{Lc}\Rightarrow L=c$ y se termina.\\<br /><br />iv) En este caso la recurrencia viene dada por $a_1 = \sqrt{3}$ y $a_{n+1}=\sqrt{3 a_n}$ y aplicando la parte iii) se obtiene que $L=3$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

technoguyx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2017, 10:51 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 25-January 17 Miembro Nº: 149.812 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La pauta de esto por si a alguien le interesa: sol_prueba_3_1_2015.pdf ( 35.46k ) Número de descargas: 57

SuKeVinBellaKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 17 2017, 10:31 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 524 Registrado: 2-October 13 Miembro Nº: 122.939 Nacionalidad: Sexo:	CITA(mamboraper @ May 20 2017, 02:02 PM) P1 $TEX: ii) Es claro que $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo el e.v.n. $\mathbb{R}$. El conjunto pedido es $\mathbb{R} - \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^c$ y se sabe que el complemento de un cerrado es abierto, luego el conjunto es abierto.<br />$ no me parece tan claro que Z sea cerrado como lo es que su complemento sea abierto

Legition Rompedi... Legition Rompediskoteqa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2017, 12:12 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.566 Registrado: 20-June 11 Desde: Region del Maule Miembro Nº: 90.738 Sexo:	Gracias por estas pruebas estimado -------------------- Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica. From my personal life: I highly recommend this video Click Here! Es altamente deseable tener aptitud para la quimica(termodinámica), la programación, alta comprensión de un problema y planteamiento del mismo, y tener resiliencia al estudiar Ingenieria Civil Industrial. Civil Industrial es en gran parte saber levantar(modelar problemas) procesos logísticos. Puedo dar fe que la Universidad Nacional Andres Bello está adelante de varias U'es Regionales(Calidad similar a la UTAL). Realidad universidades del mundo (18:30): Youtube Quiten Filosofia, Musica y Religión del Curriculum de la Media!! No es recomendado trabajar/colaborar entre matemáticos en general. En general, y a menos que Chile gaste mínimo 2% PIB en I+D, quedarse a investigar en el país, es matarse académicamente. Como recomendación Brasil es un pais muy adelantado en investigación versus AL. Gasto 2023: 0,34%.

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