Prueba 2 Calculo I 2015

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Prueba 2 Calculo I 2015, Facultas de Ciencias - Alvaro Castañeda (Primer semestre)

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Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 19 2017, 07:41 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Cálculo I, Prueba 2 Problema 1: Critique, es decir, si la armación es verdadera entonces demuéstrela. Si la armación es falsa, muestre un contraejemplo y luego cambie la(s) hipótesis para hacer la afirmación verdadera, y finalmente demuéstrela. i) Si las sucesiones $TEX: $\{ a_n\}$$ y $TEX: $\{ b_n\}$$ son tales que $TEX: $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=L_1 \neq L_2=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n$$ , entonces toda sucesión $TEX: $\{ c_n\}$$ tal que $TEX: $a_n\leq c_n\leq b_n$$ para todo $TEX: $n\in \mathbb{N}$$ tiene limite. ii) Toda sucesión de números reales es una sucesión de Cauchy. iii) Si una sucesión acotada es convergente, entonces tiene un único valor de adherencia. Problema 2: i) Dentro de un círculo de radio $TEX: $r$$ se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un círculo y así sucesivamente repetimos el mismo proceso indenidamente. Calcule las sumas de las áreas de los círculos y de los cuadrados obtenidos en el proceso antes establecido. ii) Calcule el $TEX: $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n$$ , donde $TEX: $\displaystyle a_n:=\frac{n^2+1}{n^3+1}+\frac{n^2+2}{n^3+2}+...+\frac{n^2+n}{n^3+n}$$ Problema 3: Sean $TEX: $A,B$$ conjuntos no vacíos de números reales. i) Si $TEX: $A$$ es acotado inferiormente y $TEX: $B\subset A$$ . Pruebe que $TEX: $inf(A)\leq inf(B)$$ ii) Si $TEX: $A$$ es acotado superiormente y $TEX: $B\subset A$$ . Pruebe que $TEX: $sup(B)\leq sup(A)$$ iii) Si $TEX: $A,B$$ son conjuntos acotados tales que $TEX: $B\subset A$$ . Pruebe que $TEX: $inf(A)\leq inf(B)\leq sup(B)\leq sup(A)$$ Mensaje modificado por Niklaash el May 21 2017, 03:58 PM

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2017, 10:19 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P2 $TEX: ii) Simplemente acotando $$\dfrac{n^2 +1}{n^3 +n}+\dfrac{n^2 +1}{n^3 +n}+...+\dfrac{n^2 +1}{n^3 +n}\leq a_n\leq \dfrac{n^2 +n}{n^3 +1}+\dfrac{n^2 +n}{n^3 +1}+...+\dfrac{n^2 +n}{n^3 +1}$$<br /><br />$$1\leq a_n\leq \dfrac{n^2 (n+1)}{n^3 +1}=\dfrac{n^2}{n^2 -n+1}\longrightarrow 1\Rightarrow a_n\longrightarrow 1$$ Lo último es por sandwich$ P3 $TEX: i) Como $A$ es acotado inferiormente, por ax. del supremo $\mbox{ínf}(A)$ existe y $\forall a\in A, \mbox{ínf}(A) \leq a$. Como $B\subset A$, se tiene que si $b\in B\Rightarrow b\in A$, luego $\forall b\in B, \mbox{ínf}(A) \leq b$, por tanto $\mbox{ínf}(A)$ es cota inferior de $B$, luego existe $\mbox{ínf}(B)$ y se concluye que $\mbox{ínf}(A)\leq \mbox{ínf}(B)$ (La conclusión es porque el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores) $\square$\\<br /><br />ii) Por ax. del supremo \mbox{sup}(A) existe y se tiene que $\forall a\in A, a\leq \mbox{sup}(A)$, como $B\subset A$, se tiene que $\forall b\in B, b\leq \mbox{sup}(A) $, o sea $\mbox{sup}(A)$ es cota superior de $B$, luego existe $\mbox{sup}(B)$ y se tiene que $\mbox{sup}(B)\leq \mbox{sup}(A)$ $\square$\\<br /><br />iii) Como $A$ y $B$ son acotados, se tiene la existencia de ínfimo y supremo. La desigualdad se concluye de las partes anteriores $\square$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2017, 10:05 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P1 $TEX: i) Tomemos $a_{n}=-1-\frac{1}{n}$, $b_{n}=(-1)^n$ y $c_{n}=1+\frac{1}{n}$ de donde es fácil ver que $a_n \leq b_n \leq c_n$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_{n}}\neq \lim_{n\to\infty}{c_{n}}$, pero $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{b_{n}}$ no existe$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

Gastón Burrull Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 18 2017, 10:17 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad: Sexo:	CITA(mamboraper @ Jul 18 2017, 10:05 AM) P1 $TEX: i) Tomemos $a_{n}=-1-\frac{1}{n}$, $b_{n}=(-1)^n$ y $c_{n}=1+\frac{1}{n}$ de donde es fácil ver que $a_n \leq b_n \leq c_n$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_{n}}\neq \lim_{n\to\infty}{c_{n}}$, pero $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{b_{n}}$ no existe$ las sucesiones constantes a_n= -35 y c_n=41 también sirven -------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM) Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos.

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