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pprimo
mensaje May 6 2017, 12:28 PM
Publicado: #1


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Sume TEX: $$\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{\frac{\log \left| n+\frac{1}{4} \right|}{n+\frac{1}{4}}}$$

Este problema fue propuesto por el griego Seraphim, mi solucion anda en un foro de por ahi. Espero que se motiven

Mensaje modificado por pprimo el May 8 2017, 12:02 PM
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Legition Rompedi...
mensaje Jul 31 2017, 08:58 PM
Publicado: #2


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Es así?
TEX: \[\begin{gathered}<br />  {\text{Suponiendo n}} \in \mathbb{N} \hfill \\<br />  \sum\limits_{n =  - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  \hfill \\<br />  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  + \frac{{\log \frac{1}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = \frac{{\log \frac{1}{4}}}{{\frac{1}{4}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]


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Actualmente en Ingenieria Industrial y en 3er año Ingeniería Civil Mecánica.

From my personal life: I highly recommend this video Click Here!

Es altamente deseable tener aptitud para la quimica(termodinámica), la programación, alta comprensión de un problema y planteamiento del mismo, y tener resiliencia al estudiar Ingenieria Civil Industrial.
Civil Industrial es en gran parte saber levantar(modelar problemas) procesos logísticos.
Puedo dar fe que la Universidad Nacional Andres Bello está adelante de varias U'es Regionales(Calidad similar a la UTAL).


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Quiten Filosofia, Musica y Religión del Curriculum de la Media!!


No es recomendado trabajar/colaborar entre matemáticos en general.

En general, y a menos que Chile gaste mínimo 2% PIB en I+D, quedarse a investigar en el país, es matarse académicamente. Como recomendación Brasil es un pais muy adelantado en investigación versus AL. Gasto 2023: 0,34%.



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pprimo
mensaje Jul 31 2017, 10:51 PM
Publicado: #3


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CITA(Legition Rompediskoteqa @ Jul 31 2017, 08:58 PM) *
Es así?
TEX: \[\begin{gathered}<br />  {\text{Suponiendo n}} \in \mathbb{N} \hfill \\<br />  \sum\limits_{n =  - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  \hfill \\<br />  \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\log \left| {n + \frac{1}{4}} \right|}}{{n + \frac{1}{4}}}}  + \frac{{\log \frac{1}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = \frac{{\log \frac{1}{4}}}{{\frac{1}{4}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]


que maten tantos animales pa un chhancho qll como vo
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2.718281828
mensaje Aug 1 2017, 02:16 AM
Publicado: #4


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CITA(ultraviolent pprimo @ Jul 31 2017, 10:51 PM) *
que maten tantos animales pa un chhancho qll como vo

Oye ya, en serio, para, al menos el loco hizo algo, no se merece esa reaccion exageradamente agresiva, teni que calmarte hmo, esta vez no chacreo el tema, hizo algo, incluso cuando, si lo notas bien, se equivoco al separar la sumatoria, pero, ¡hizo algo!, lo hizo mal pero ¡hizo algo!.

De hecho, la idea que tiene legition, es la que hubiese hecho, sin embargo se equivoco en el signo de n, o por lo menos en una parte de la sumatoria. La sumatoria debiese quedar asi:

TEX: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1/4)}{n+1/4}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n-1/4)}{n-1/4}+\frac{\ln(1/4)}{1/4}$$

Ahi entraria a picar en las diferencias, pero no se si logre algo... no hay digammas y polilogaritmos por ahi por cierto?
Saludos y relaja la vena.

Claudio.

Mensaje modificado por 2.718281828 el Aug 1 2017, 10:49 PM


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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Legition Rompedi...
mensaje Aug 1 2017, 02:08 PM
Publicado: #5


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QUOTE(2.718281828 @ Aug 1 2017, 03:16 AM) *
Oye ya, en serio, para, al menos el loco hizo algo, no se merece esa reaccion exageradamente agresiva, teni que calmarte hmo, esta vez no chacreo el tema, hizo algo, incluso cuando, si lo notas bien, se equivoco al separar la sumatoria, pero, ¡hizo algo!, lo hizo mal pero ¡hizo algo!.

De hecho, la idea que tiene legition, es la que hubiese hecho, sin embargo se equivoco en el signo de n, o por lo menos en una parte de la sumatoria. La sumatoria debiese quedar asi:

TEX: $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln(n+1/4)}{n+1/4}-\sum_{k=1}^n \frac{\ln(n-1/4)}{n-1/4}+\frac{\ln(1/4)}{1/4}$$

Ahi entraria a picar en las diferencias, pero no se si logre algo... no hay digammas y polilogaritmos por ahi por cierto?
Saludos y relaja la vena.

Claudio.

lo hice basandome en la simetria del recorrido del indice, pero no se como te quedo -1/4 :/, me sigue dando el mismo resultado.
Vi en wolfram el resultado y es brigido, quizas no deberia aventurarme en estos ejercicios.


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2.718281828
mensaje Aug 1 2017, 04:08 PM
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CITA(Legition Rompediskoteqa @ Aug 1 2017, 02:08 PM) *
lo hice basandome en la simetria del recorrido del indice, pero no se como te quedo -1/4 :/, me sigue dando el mismo resultado.
Vi en wolfram el resultado y es brigido, quizas no deberia aventurarme en estos ejercicios.

Es que el sumando no es simetrico nica. Ahi fallaste.
Lo que hice fue separar los positivos los negativos y el termino el n=0 y un cambio de signo y de indice, asi de simple.

Saludos

Edit: Mathematicagoneo. No se la pudo el wolfram.

Mensaje modificado por 2.718281828 el Aug 1 2017, 10:50 PM


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mensaje Aug 2 2017, 08:03 PM
Publicado: #7


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THanks abel. I got something.

La suma en cuestion requiere evaluar expresiones del tipo TEX: $\displaystyle  \sum_{n=1}^N \frac{\ln(n+a)}{n+a}$
donde a es tal que |a|<1
Recordemos la famosa suma de Abel: dada una funcion f derivable y una sucesion TEX: $a_n$ entonces

TEX: $$\sum_{1\leq n \leq x}a_nf(n)=A(x)f(x)-\int_1^x A(x)f'(x)dx$$, donde TEX: $A(x)=\sum_{1 \leq n \leq x}a_n$

En el caso especial de que TEX: $x=N \in \mathbb{N}$ y $a_n=1$ tenemos que A(x)=[x], con [] funcion parte entera y:

TEX: $$\sum_{1\leq n \leq N}f(n)=Nf(N)-\int_1^N [x]f'(x)dx$$
El cual se puede usar la parte decimal TEX: $$\{x\}=x-[x]$$ para reescribirlo de manera mas simple:
TEX: $$\sum_{1\leq n \leq N}f(n)=Nf(N)-\int_1^N [x]f'(x)dx=f(1)+\int_1^N f(x)dx+\int_1^N f'(x){x}dx$$ y como TEX: $$\{x\}<1$$ tenemos la siguiente estimación:
TEX: $$\sum_{1\leq n \leq N}f(n)=f(1)+\int_1^N f(x)dx+\int_1^{\infty} f'(x)\{x\}dx+O(f(x))$$

Ahora. en nuestro caso TEX: $f(x)=\frac{\ln(x+a)}{x+a}$. Del cual por simple cálculo:

TEX: $$ S_n(a)= \sum_{n=1}^N \frac{\ln(n+a)}{n+a}=\frac{\ln(1+a)}{1+a}+\frac 12 \ln^2 (N+a)-\frac 12 \ln^2(1+a)+K(a)+O(\frac{\ln(x+a)}{x+a})$$

donde TEX: $$K(a)=\int_1^{\infty} \{x\} \frac{1-\ln(x+a)}{(x+a)^2}$$

Ahora. tenemos por el post que mencione:

TEX: $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{\ln|n+\frac 14|)}{|n+\frac 14|}=\lim_{N \to \infty} S_N(1/4)-S_N(-1/4)+\ln(1/4)4$$<br />$$\lim_{N \to \infty} \frac 12(\ln^2(N+1/4)-\ln^2(N-1/4))+\frac{\ln(1+1/4)}{1+1/4}-\frac{\ln(1-1/4)}{1-1/4}+\frac 12(\ln^2(1-1/4)-\ln^2(1+1/4))+K(1/4)-K(-1/4)$$
Donde es facil ver que TEX: $$\lim_{N \to \infty} \frac 12(\ln^2(N+a)-\ln^2(N-a))=0,\forall |a|<1$$
Por lo tanto:

TEX: $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{\ln|n+\frac 14|}{|n+\frac 14|}=\frac 45 \ln(\frac 54)-\frac 43 \ln(\frac 34)+\frac 12(\ln^2( \frac 34)-\ln^2(5/4))+K(1/4)-K(-1/4)$$

Lo que no se como diablos sacar, son los valores K(1/4) y K(-1/4). ahi me quede.

Saludos
Claudio.


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Publicado: #8


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CITA(2.718281828 @ Aug 2 2017, 08:03 PM) *
THanks abel. I got something.

La suma en cuestion requiere evaluar expresiones del tipo TEX: $\displaystyle  \sum_{n=1}^N \frac{\ln(n+a)}{n+a}$
donde a es tal que |a|<1
Recordemos la famosa suma de Abel: dada una funcion f derivable y una sucesion TEX: $a_n$ entonces

TEX: $$\sum_{1\leq n \leq x}a_nf(n)=A(x)f(x)-\int_1^x A(x)f'(x)dx$$, donde TEX: $A(x)=\sum_{1 \leq n \leq x}a_n$

En el caso especial de que TEX: $x=N \in \mathbb{N}$ y $a_n=1$ tenemos que A(x)=[x], con [] funcion parte entera y:

TEX: $$\sum_{1\leq n \leq N}f(n)=Nf(N)-\int_1^N [x]f'(x)dx$$
El cual se puede usar la parte decimal TEX: $$\{x\}=x-[x]$$ para reescribirlo de manera mas simple:
TEX: $$\sum_{1\leq n \leq N}f(n)=Nf(N)-\int_1^N [x]f'(x)dx=f(1)+\int_1^N f(x)dx+\int_1^N f'(x){x}dx$$ y como TEX: $$\{x\}<1$$ tenemos la siguiente estimación:
TEX: $$\sum_{1\leq n \leq N}f(n)=f(1)+\int_1^N f(x)dx+\int_1^{\infty} f'(x)\{x\}dx+O(f(x))$$

Ahora. en nuestro caso TEX: $f(x)=\frac{\ln(x+a)}{x+a}$. Del cual por simple cálculo:

TEX: $$ S_n(a)= \sum_{n=1}^N \frac{\ln(n+a)}{n+a}=\frac{\ln(1+a)}{1+a}+\frac 12 \ln^2 (N+a)-\frac 12 \ln^2(1+a)+K(a)+O(\frac{\ln(x+a)}{x+a})$$

donde TEX: $$K(a)=\int_1^{\infty} \{x\} \frac{1-\ln(x+a)}{(x+a)^2}$$

Ahora. tenemos por el post que mencione:

TEX: $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{\ln|n+\frac 14|)}{|n+\frac 14|}=\lim_{N \to \infty} S_N(1/4)-S_N(-1/4)+\ln(1/4)4$$<br />$$\lim_{N \to \infty} \frac 12(\ln^2(N+1/4)-\ln^2(N-1/4))+\frac{\ln(1+1/4)}{1+1/4}-\frac{\ln(1-1/4)}{1-1/4}+\frac 12(\ln^2(1-1/4)-\ln^2(1+1/4))+K(1/4)-K(-1/4)$$
Donde es facil ver que TEX: $$\lim_{N \to \infty} \frac 12(\ln^2(N+a)-\ln^2(N-a))=0,\forall |a|<1$$
Por lo tanto:

TEX: $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{\ln|n+\frac 14|}{|n+\frac 14|}=\frac 45 \ln(\frac 54)-\frac 43 \ln(\frac 34)+\frac 12(\ln^2( \frac 34)-\ln^2(5/4))+K(1/4)-K(-1/4)$$

Lo que no se como diablos sacar, son los valores K(1/4) y K(-1/4). ahi me quede.

Saludos
Claudio.


aqui mi solucion en un foro griego

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?...=282566#p282566
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mensaje Jan 20 2019, 06:21 PM
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CITA(black-lotus @ Jan 20 2019, 10:12 AM) *


Muy lejos de lo que yo habia hecho... lo sabia, sabia que debian haber unas digammas malditas!!!.

Por cierto, bienvenido de vuelta. Tiempo que no te veia aca en el foro, te vi en AOPS tambien.

Deberias cruzar el rio y hacer un magister y hasta un doctorado en matemáticas y mirar si hay alguien en Chile que estudie este tema (aunque no estoy seguro acá en el país), o incluso, mirar hacia el extranjero. Este tipo de cálculos que parecen ''ser demasiado rebuscado'' según varios, sí tienen un nicho y un área de investigación, sobre todo en lo que es en la parte de software con cálculo simbólico (por ejemplo, puedes echar una mirada al trabajo de Victor H. Moll, que tiene mas de un par de libros con integrales bastante cabronas) e incluso probabilidad estadística (en mi tesis me he topado con gammas incompletas, digammas y hasta la función phi de Lerch). Tu contribución podría ser muy buena en ese tópico. yo creo que si tanto te apasiona hacer esto y si hay un área de trabajo que investiga estos temas, esto no se puede quedar como un simple hobby.

Saludos
Claudio.


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