Preguntas sobre formas cuadráticas y matrices simétricas en ortogonalidad

Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad de Chile > Álgebra Lineal

Preguntas sobre formas cuadráticas y matrices simétricas en ortogonalidad, ayuda!

Opciones

Akenatón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2017, 12:25 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 8-January 11 Miembro Nº: 82.762 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Hola, no se por donde empezar en las preguntas 2 y 3(sobre todo esta) . Ayuda porfa!! (estan en los archivos adjuntos) Archivo(s) Adjunto(s) imagen_Ex_2008_AL.png ( 347.15k ) Número de descargas: 3 Examen_2008_AL.pdf ( 211.12k ) Número de descargas: 7 -------------------- "Lo único infinito es la estupidez humana" , Albert Einstein.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2017, 04:15 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	La P2 a) es una típica, no hay mucho que ayudar. Te daré hints para abordar las otras: P2 b) 1) Recuerda que $TEX: $\|\|x\|\|^2=x^t x$$ 2) H es diagonalizable por hipótesis, luego puedes hacer $TEX: $H=PDP^t$$ hacer los cambios de variables típicos y blabla.. P3 1) Definición, $TEX: $Az_0 = \lambda z_0$$ 2) Lo mismo 3) Demostrar que es s.e.v. es directo. Para demostrar que la dimensión es $TEX: $n-1$$ (hay hartas formas) considera la transformación $TEX: $T: \mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}$$ definida por $TEX: $T(x)=z_0^t x$$ y aplica TNI 4) Es aplicar bien las partes anteriores 5) Simplemente $TEX: $AA^{-1} =I$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

Akenatón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2017, 05:29 PM Publicado: #3
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 8-January 11 Miembro Nº: 82.762 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(mamboraper @ Mar 12 2017, 04:15 PM) La P2 a) es una típica, no hay mucho que ayudar. Te daré hints para abordar las otras: P2 b) 1) Recuerda que $TEX: $\|\|x\|\|^2=x^t x$$ 2) H es diagonalizable por hipótesis, luego puedes hacer $TEX: $H=PDP^t$$ hacer los cambios de variables típicos y blabla.. P3 1) Definición, $TEX: $Az_0 = \lambda z_0$$ 2) Lo mismo 3) Demostrar que es s.e.v. es directo. Para demostrar que la dimensión es $TEX: $n-1$$ (hay hartas formas) considera la transformación $TEX: $T: \mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}$$ definida por $TEX: $T(x)=z_0^t x$$ y aplica TNI 4) Es aplicar bien las partes anteriores 5) Simplemente $TEX: $AA^{-1} =I$$ Gracias por responder, eso si me enredo demasiado en en como proponer bien la 3 Si estas con tiempo y si no es mucha la molestia.. no sería posible que la hicieras a mano y me envías fotos o algo así?? etsaría eternamente agradecido xd -------------------- "Lo único infinito es la estupidez humana" , Albert Einstein.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2017, 07:08 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \begin{itemize}<br />\item [1)] $Az_0=(I+z_0 z_0^t)z_0=z_0+z_0z_0^t z_0=z_0 + z_0\|\|z_0\|\|^2 = (1+\|\|z_0\|\|^2)z_0$. Entonces $\lambda = 1+\|\|z_0\|\|^2$<br />\item [2)] $A\mu = (I+x_0 x_0^t)\mu = \mu + x_0 x_0^t \mu=\mu + x_0\cdot 0 = \mu$ y listo.<br />\item [3)] Dados $a,b$ en el espacio ortogonal de $z_0$, basta probar que $a+\lambda b$ está en dicho espacio, te lo dejo. La otra parte, consideremos $T:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ donde $T(x)=z_0^t x$ que es lineal (fácil de ver), nota que $\mbox{Ker}(T)$ es el espacio de ortogonal de $z_0$, por el TNI sabemos que $$\mbox{dim}(\mbox{Ker}(T))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(T))=n$$ Además $\mbox{dim}(\mathbb{R})\geq\mbox{dim}(\mbox{Im}(T))\geq 1\Rightarrow \mbox{dim}(\mbox{Im}(T))=1$ y con eso estamos.<br />\item [4)] $A$ es simétrica, luego es diagonalizable, además, por la parte b) sabemos que un vector ortogonal a $z_0$ es vector propio con valor propio 1 y este espacio tiene dimensión $n-1$. Nos falta el espacio de dimensión 1 y este es el que genera $z_0$, con valor propio $(1+\|\|z_0\|\|^2)$, ahí está listo. Es definida positiva pues sus valores propios son positivos. Veamos que $\|A\|=\|PDP^{-1}\|=\|P\|\|D\|\|P^{-1}\|=\|D\|$ como $D$ es la matriz diagonal de valores propios, se concluye que $\|A\|=1+\|\|z_0\|\|^2$<br />\item [5)] Hácela tú jajajaj <br />\end{itemize}$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

Akenatón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2017, 08:33 PM Publicado: #5
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 50 Registrado: 8-January 11 Miembro Nº: 82.762 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(mamboraper @ Mar 12 2017, 07:08 PM) $TEX: \begin{itemize}<br />\item [1)] $Az_0=(I+z_0 z_0^t)z_0=z_0+z_0z_0^t z_0=z_0 + z_0\|\|z_0\|\|^2 = (1+\|\|z_0\|\|^2)z_0$. Entonces $\lambda = 1+\|\|z_0\|\|^2$<br />\item [2)] $A\mu = (I+x_0 x_0^t)\mu = \mu + x_0 x_0^t \mu=\mu + x_0\cdot 0 = \mu$ y listo.<br />\item [3)] Dados $a,b$ en el espacio ortogonal de $z_0$, basta probar que $a+\lambda b$ está en dicho espacio, te lo dejo. La otra parte, consideremos $T:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ donde $T(x)=z_0^t x$ que es lineal (fácil de ver), nota que $\mbox{Ker}(T)$ es el espacio de ortogonal de $z_0$, por el TNI sabemos que $$\mbox{dim}(\mbox{Ker}(T))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(T))=n$$ Además $\mbox{dim}(\mathbb{R})\geq\mbox{dim}(\mbox{Im}(T))\geq 1\Rightarrow \mbox{dim}(\mbox{Im}(T))=1$ y con eso estamos.<br />\item [4)] $A$ es simétrica, luego es diagonalizable, además, por la parte b) sabemos que un vector ortogonal a $z_0$ es vector propio con valor propio 1 y este espacio tiene dimensión $n-1$. Nos falta el espacio de dimensión 1 y este es el que genera $z_0$, con valor propio $(1+\|\|z_0\|\|^2)$, ahí está listo. Es definida positiva pues sus valores propios son positivos. Veamos que $\|A\|=\|PDP^{-1}\|=\|P\|\|D\|\|P^{-1}\|=\|D\|$ como $D$ es la matriz diagonal de valores propios, se concluye que $\|A\|=1+\|\|z_0\|\|^2$<br />\item [5)] Hácela tú jajajaj <br />\end{itemize}$ me has ayudado un montón, lo último que te pido de ayuda es en la P"b, no se como proponer la desigualdad D: Saludos! -------------------- "Lo único infinito es la estupidez humana" , Albert Einstein.

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2017, 09:34 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	Utiliza la indicación que te dan, te dije anteriormente que hicieras $TEX: $H=PDP^t$$ con $TEX: $D$$ diagonal y ahí te va a salir. -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

« Posterior · Álgebra Lineal · Anterior »

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 3rd April 2025 - 09:14 PM