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> Encontrar último dígito, Propuesto
TM2K4
mensaje Jan 24 2017, 10:07 AM
Publicado: #1


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Hola:
Les dejo el siguiente propuesto, se trata de encontrar el último dígito de este mega-primo.
Pueden usar congruencia de módulo, les será de utilidad.

TEX: $$ 543 \cdot 2^{3351686} + 1 $$


Saludos. wink.gif


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SuKeVinBellaKo
mensaje Jan 24 2017, 06:36 PM
Publicado: #2


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TEX: $543*2^{3351686}+1=1 mod 2= 3 mod 2$

TEX: $2^{3351686}=4*2^{3351684}=4*1 mod 5$ por little fermat

TEX: $543*2^{3351686}+1=(-2)*4+1=3 mod 5 $

por teorema chino de los restos TEX: $543*2^{3351686} = 3 mod 10$ luego el último dígito es TEX: $3$

Mensaje modificado por SuKeVinBellaKo el Jan 24 2017, 06:37 PM
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TM2K4
mensaje Jan 24 2017, 09:30 PM
Publicado: #3


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CITA(SuKeVinBellaKo @ Jan 24 2017, 08:36 PM) *
TEX: $543*2^{3351686}+1=1 mod 2= 3 mod 2$

TEX: $2^{3351686}=4*2^{3351684}=4*1 mod 5$ por little fermat

TEX: $543*2^{3351686}+1=(-2)*4+1=3 mod 5 $

por teorema chino de los restos TEX: $543*2^{3351686} = 3 mod 10$ luego el último dígito es TEX: $3$



¡Respuesta correcta! El último dígito es 3. Buen trabajo. clap.gif
Creo que en la última línea olvidaste colocar el número completo sobre el cual estamos analizando: TEX: $$ 543 \cdot 2^{3351686}+1 $$. De todas formas, excelente.

Les dejo un link por si quieren saber más sobre este mega-primo: https://primes.utm.edu/bios/page.php?id=4462

En general, pueden encontrar información relativa a números primos en: https://primes.utm.edu/

Saludos. wink.gif



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bastiandansk
mensaje Jan 25 2017, 12:32 PM
Publicado: #4


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Ocupé un método muy poco pulcro pero bah, aquí va una solución más "intuitiva" jajajaja

Notemos que 2^n con n en los enteros sigue un patrón de multiplicación de las unidades
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16 = ..6
2^5 = 32 = ..2
2^6 = 64 = ..4
2^7 = 128 = ..8
2^8 = 256 = ..6
2^9 = ...2


O sea, la última cifra de 2^(4n+k) con k en los naturales va a ser igual a 2, 4, 8 o 6 si k = 1, 2, 3, 0 respectivamente

TEX: 3351686mod4 = 2

Por lo que 3351686 puede escribirse como 4n+2
Entonces por lo de arriba, la última cifra de 2^3351686 es 4

Como 543 se multiplica con un número cuya última cifra sea 4, entonces la última cifra es 2 (ya que la multiplicación entre las unidades 4 y 3 da como resultado la unidad 2, 3x4 = 12)

Si a dicho número con unidad 2 se le suma una unidad, entonces 2+1 = 3 (duh)

Por lo tanto, la última cifra del número es 3.

(recién estoy cachando cómo usar latex acá:c)
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TM2K4
mensaje Jan 25 2017, 01:15 PM
Publicado: #5


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¡Buen desarrollo bastiandansk! biggrin.gif
Todo perfecto con el razonamiento, en esencia es similar a las otras formas de cálculo.

Si quieres aprender más sobre TEX: \LaTeX{}, no olvides visitar:
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Saludos!



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SuKeVinBellaKo
mensaje Jan 25 2017, 09:54 PM
Publicado: #6


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olviden mi solución, pensé que no se podría hacer una potencia de 2 directamente con modulo 10 ya que 2 no es coprimo con 10
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TM2K4
mensaje Jan 26 2017, 09:00 AM
Publicado: #7


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CITA(SuKeVinBellaKo @ Jan 25 2017, 11:54 PM) *
olviden mi solución, pensé que no se podría hacer una potencia de 2 directamente con modulo 10 ya que 2 no es coprimo con 10


Agregando lo que te comenté, tu solución es más directa utilizando sólo congruencia de módulo.
La otra solución dada también es una buena forma de verlo más paso a paso.
Saludos. thumbsup_ii.gif


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