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Propuesto: Contando polinomios sobre cuerpos finitos

「Crizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2016, 01:41 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 25 Registrado: 24-November 15 Desde: Santiago de Shicle Miembro Nº: 142.436 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />N\'umero de polinomios iireducibles de grado $d$ en $\mathbb{F}_q[x]$:<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Obtener una forma compacta para el n\'umero de elementos en $\mathbb{F}_{q^n}$ que no pertenecen a ning\'un subcuerpo $\mathbb{F}_{q^k}$ ($k<n$).<br /><br />\item Demostrar que los elementos en $\mathbb{F}_{q^n}$ que no pertenecen a ning\'un subcuerpo $\mathbb{F}_{q^k}$ $(k<n)$ son exactamente las ra\'ices del polinomio: $$ t_n(x)=\dfrac{x^{q^n}-x}{mcm\{x^{q^k}-x\}_{k\|n,\,k<n}}=\dfrac{x^{q^n}-x}{\prod_{k\|n,\,k<n}\, \, t_k(x)} $$<br />$mcm:$ m\'in. com\'un mult.<br /><br />\item Demostrar que $t_n(x)$ es el producto de todos los irreducibles de grado $n$ en $\mathbb{F}_q[x].$<br /><br />\item Obtener el n\'umero de polinomios irreducibles de grado $n$ en $\mathbb{F}_q[x]$.<br /><br />\item Encuentre una proporci\'on de polinomios de grado $n$ en $\mathbb{F}_q[x]$ (con $q$ grande) que sean ireducibles.<br /><br />\item Encuentre una proporci\'on de polinomios de grado $n$ en $\mathbb{F}_q[x]$ (con $q$ grande) que se descomponen completamente sobre $\mathbb{F}_q$<br /><br />\item Encuentre una aproximaci\'on general para la proporci\'on de polinomios de grado $n$ en $\mathbb{F}_q[x]$ (con $q$ grande) cuyos factores tienen grados $\{n_1,n_2,...,n_k\}.$<br /><br />\item Estime la proporci\'on de polinomios de grado $n$ en $\mathbb{F}_q[x]$ que no son separables.<br />\end{enumerate}<br /><br />$ Mensaje modificado por 「Crizalid」 el Dec 21 2016, 02:10 PM

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2016, 01:49 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	Hola, primero edita el post y ocupa \mathbb{F}, para escribir $TEX: $\mathbb{F}$$ . Segundo, es una pregunta por tema Te aconsejo buscar acerca de la función de Moebius y Necklace polynomial. Saludos Hostiles. Mensaje modificado por jucca! el Dec 21 2016, 01:52 PM

「Crizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2016, 01:54 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 25 Registrado: 24-November 15 Desde: Santiago de Shicle Miembro Nº: 142.436 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(jucca! @ Dec 21 2016, 01:49 PM) Hola, primero edita el post y ocupa \mathbb{F}, para escribir $TEX: $\mathbb{F}$$ . Segundo, es una pregunta por tema Te aconsejo buscar acerca de la función de Moebius y Necklace polynomial. Saludos Hostiles. Mensaje modificado por 「Crizalid」 el Dec 21 2016, 02:09 PM

¡Santa ciencia! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 21 2016, 03:00 PM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 31 Registrado: 21-December 14 Miembro Nº: 134.977 Nacionalidad: Sexo:	Solución Parte 1: Asumiré que $TEX: $q$$ es de la forma $TEX: $q=p^r$$ con $TEX: $p$$ un primo. Primero veamos que $TEX: $\mathbb{F}_{q^k}\subset \mathbb{F}_{q^n}$$ si y solo si $TEX: $k\mid n$$ . La implicancia $TEX: $\Rightarrow$$ se debe a que si se tiene la contención de los cuerpos entonces podemos ver a $TEX: $\mathbb{F}_{q^n}$$ como un $TEX: $\mathbb{F}_{q^k}$$ -espacio vectorial y luego es isomorfo (como espacio vectorial) a $TEX: $(\mathbb{F}_{q^k})^s$$ para algún $TEX: $s$$ y en particular tiene $TEX: $(q^k)^s=q^{ks}$$ elementos. Así $TEX: $n=ks$$ . La otra implicancia es debido a que $TEX: $\mathbb{F}_{q^s}$$ se puede ver como las raíces de $TEX: $x^{q^s}-x$$ en $TEX: $\bar{\mathbb{F}}_q$$ para todo $TEX: $s$$ . Luego la contención viene de que toda raiz de $TEX: $x^{q^k}-x$$ es una raíz de $TEX: $x^{q^n}-x$$ cuando $TEX: $k\mid n$$ . Ahora pasemos a resolver el problema. Sea $TEX: $n=p_1^{\alpha_1}\dots p_s^{\alpha_s}$$ la factorización de $TEX: $n$$ como producto de primos. Por lo dicho arriba tenemos $TEX: $$\mathbb{F}_{q^n}\setminus \bigcup_{k<n} \mathbb{F}_{q^k}=\bigcup_{i=1}^s \mathbb{F}_{q^{\frac{n}{p_i}}}$$$ . Así como $TEX: $\mathbb{F}_{q^{\frac{n}{p_i}}}\cap \mathbb{F}_{q^{\frac{n}{p_j}}}=\mathbb{F}_{q^{\frac{n}{p_ip_j}}}$$ cuando $TEX: $i\neq j$$ (y lo mismo para intersecciones entre más cuerpos), tenemos por el Principio de Inclusión-Exclusión. $TEX: $$\#\mathbb{F}_{q^n}\setminus \bigcup_{k<n} \mathbb{F}_{q^k}=\#\bigcup_{i=1}^s \mathbb{F}_{\frac{n}{p_i}}=\sum_i q^{\frac{n}{p_i}}-\sum_{i,j}q^{\frac{n}{p_ip_j}}+\sum_{i,j,r}q^{\frac{n}{p_ip_jp_r}}-...$$$ . Lo cual se puede escribir de manera compacta usando la función de Möbius como $TEX: $$\# \mathbb{F}_{q^n}\setminus \bigcup_{k<n} \mathbb{F}_{q^k}=\sum_{d\mid n} \mu(d)q^{\frac{n}{d}}$$$ . Idea: Llamando $TEX: $F(n)$$ al número buscado se debería poder probar directamente que esta función es multiplicativa. Así como $TEX: $\sum_{d\mid n}F(d)=q^n$$ por la formula de inversión de Möbius se llegaría al mismo resultado. Mensaje modificado por ¡Santa ciencia! el Dec 21 2016, 07:56 PM

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