Integral usando transformada

Integral usando transformada, fourier

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2016, 09:42 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Usando propiedades de la transformada de Fourier, calcular $TEX: $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\dfrac{cos(bx)}{a^2+x^2}dx$$ , donde a,b>0. Mi pregunta va a, ¿como puedo aplicar la transformada de Fourier en este tipo de integrales? Se las propiedades, la definición, etc acerca de la transformada, pero no como aplicarla en integrales. Hay algún texto de referencia para aprender a resolver lo anterior, o algún hint que me ayude a resolverla? Saludos..

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 5 2016, 09:02 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Ditoow @ Dec 4 2016, 09:42 PM) Usando propiedades de la transformada de Fourier, calcular $TEX: $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\dfrac{cos(bx)}{a^2+x^2}dx$$ , donde a,b>0. Mi pregunta va a, ¿como puedo aplicar la transformada de Fourier en este tipo de integrales? Se las propiedades, la definición, etc acerca de la transformada, pero no como aplicarla en integrales. Hay algún texto de referencia para aprender a resolver lo anterior, o algún hint que me ayude a resolverla? Saludos.. Creo que es la misma mano que Laplace (después de todo están íntimamente relacionadas), la cosa va considerando $TEX: $f(x)=\dfrac{1}{a^2+x^2}$$ y utilizar el hecho de que $TEX: $\cos(bx)=\text{Re}\{e^{ibx} \}$$ , ahí notando que el integrando es par, se te arma la la transformada de Fourier que deseas, luego tomas parte real y estás al otro lado (no le he metido mano, es lo que se me ocurre en estos momentos). Saludos!!

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2016, 03:44 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Tobal.alb @ Dec 5 2016, 09:02 PM) Creo que es la misma mano que Laplace (después de todo están íntimamente relacionadas), la cosa va considerando $TEX: $f(x)=\dfrac{1}{a^2+x^2}$$ y utilizar el hecho de que $TEX: $\cos(bx)=\text{Re}\{e^{ibx} \}$$ , ahí notando que el integrando es par, se te arma la la transformada de Fourier que deseas, luego tomas parte real y estás al otro lado (no le he metido mano, es lo que se me ocurre en estos momentos). Saludos!! Veré que sucede, gracias!

¡Santa ciencia! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2016, 11:26 AM Publicado: #4
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 31 Registrado: 21-December 14 Miembro Nº: 134.977 Nacionalidad: Sexo:	Como el integrando es una función par y usando la formúla $TEX: $e^{i\theta}=cos(\theta)+i sen(\theta)$$ tenemos $TEX: $$I=\int_0^{\infty}\frac{cos(bx)}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{2}\text{Re}\left( \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ibx}}{a^2+x^2}dx \right)=\pi \text{Re}\left( \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{2\pi ibx}}{a^2+(2 \pi x)^2}dx \right)$$$ Donde en el ultimo paso usamos el cambio de variable $TEX: $x\mapsto 2 \pi x$$ . Ahora si $TEX: $f(x)=e^{-a\|x\|}$$ con $TEX: $a>0$$ tenemos que su transformada de Fourier es $TEX: $\hat{f}(x)=\frac{2a}{a^2+(2\pi x)^2}$$ (ver por ejemplo la tabla de transformadas de Fourier en wikipedia Link), así tenemos por el teorema de inversión de Fourier Link $TEX: $$I=\frac{\pi}{2a}\text{Re}\left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ibx}\hat{f}(x)dx \right)=\frac{\pi \text{Re}(f(b))}{2a}=\frac{\pi e^{-ab}}{2a}$$$

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