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I OIM: 1985, Sin resolver: 2', 6'

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 12 2007, 04:18 PM Publicado: #21
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Todavía hay una manera de revivir este tema, dando una mirada al siguiente problemita: Problema 6': Suponga ahora que el $TEX: $\triangle ABC$$ no es acutángulo. Defina los puntos $TEX: $D,E,F$$ análogamente. Enuncie y demuestre una identidad análoga a la que pide demostrar el problema 6. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Nabodorbuco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2009, 09:27 AM Publicado: #22
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 513 Registrado: 25-April 08 Desde: CSMC Miembro Nº: 21.189 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Mi solución al P4 $TEX: $\dfrac{bc-a^{2}}{1-a}=\dfrac{ac-b^{2}}{1-b}$$ $TEX: $bc-a^{2}-b^{2}c+a^{2}b=ac-b^{2}-a^{2}c+ab^{2} \quad /+ab$$ $TEX: $ab+bc-a^{2}-b^{2}c+a^{2}b=ab+ac-b^{2}-a^{2}c+ab^{2}$$ $TEX: $ab+b^{2}+bc+a^{2}b-ab^{2}=a^{2}+ab+ac+b^{2}c-a^{2}c$$ $TEX: $b(a+b+c)+a^{2}c-ab^{2}=a(a+b+c)+b^{2}c-a^{2}b$$ $TEX: $(b-a)(a+b+c)=b(bc-a^{2})-a(ac-b^{2})$$ pero sabemos que $TEX: $bc-a^{2}=\dfrac{(ac-b^{2})(1-a)}{1-b}$$ $TEX: $(b-a)(a+b+c)=b(\dfrac{(ac-b^{2})(1-a)}{1-b})-a(ac-b^{2})$$ $TEX: $(b-a)(a+b+c)=(ac-b^{2})(\dfrac{b(1-a)-a(1-b)}{1-b})$$ $TEX: $(b-a)(a+b+c)=(ac-b^{2})(\dfrac{b-ab-a+ab}{1-b})$$ $TEX: $(b-a)(a+b+c)=(ac-b^{2})(\dfrac{b-a}{1-b})$$ $TEX: $a+b+c=\dfrac{ac-b^{2}}{1-b} \Rightarrow \dfrac{bc-a^{2}}{1-a}=a+b+c$$ -------------------- FunGeometry SIEMPRE CON LAS MEJORES INTENCIONES DE AYUDAR. ATTE. NABODORBUCO EL TERCER OJO GoGeometry LA IDEA ES QUE NO ESPERES QUE FMAT RESUELVA TUS TAREAS, ESCRIBE SIEMPRE CUALES SON TUS INQUIETUDES

Nabodorbuco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 9 2009, 08:34 PM Publicado: #23
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 513 Registrado: 25-April 08 Desde: CSMC Miembro Nº: 21.189 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(xsebastian @ Nov 16 2005, 08:23 PM) Problema 2': Nuevamente consideramos un punto $TEX: $P$$ en la región interior de un $TEX: $\triangle ABC$$ equilátero, con $TEX: $AB=l$$ . Supongamos que $TEX: $PA=a,PB=b,PC=c$$ son datos conocidos Pruebe que es posible construir un triángulo cuyos lados miden $TEX: $a,b,c$$ Encuentre $TEX: $l$$ en términos de $TEX: $a,b,c$$ Aqui vamos Pruebe que es posible construir un triángulo cuyos lados miden $TEX: $a,b,c$$ Creo al menos que la primera pregunta de alguna manera quien la planteo penso en esta solucion: Tomamos el triangulo APB y hacemos coincidir su base con el lado AC resultando el triangulo APC y se formara un triangulo equilatero de lado $TEX: $a$$ y por consiguiente en el triangulo DPC ocurre que $TEX: $AP=DP=a$$ $TEX: $BP=CD=b$$ Y como sabemos que $TEX: $PC=c$$ tenemos un triangulo de lados $TEX: $a, b, c$$ Triangulo_Equilatero.JPG ( 14.88k ) Número de descargas: 2 Encuentre $TEX: $l$$ en términos de $TEX: $a,b,c$$ Para esto sumaremos las areas de los triangulos Notemos primero que el triangulo CBE es la superposicion del triangulo CPA sobre el segmento CB y analogamente obtenemos el triangulo BFA en relacion al BPC. Veremos ahora que aparece tres veces el triangulo de lados $TEX: $a, b, c$$ puesto que $TEX: $DCP=EBP=FAP$$ . Entonces si sumamos todas estas areas tenemos que: $TEX: $(ADP+DCP)+(CPE+EBP)+(BFP+FAP)=$$ $TEX: $(CPA+ADC)+(CEB+BPC)+(BFA+APB)$$ $TEX: $=(CPA+APB)+(CPA+BPC)+(BPC+APB)$$ $TEX: $=2(CPA+APB+BPC)=2(ABC)$$ O sea $TEX: $ADP+DCP+CEP+EBP+BFP+FAP=2(ABC)$$ Podemos expresar ahora lo siguiente $TEX: $ABC=\dfrac{L^{2}\sqrt{3}}{4}$$ $TEX: $APD=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$ $TEX: $CPE=\dfrac{c^{2}\sqrt{3}}{4}$$ $TEX: $BPF=\dfrac{b^{2}\sqrt{3}}{4}$$ Aplicando Herón con $TEX: $\dfrac{a+b+c}{2}=S$$ $TEX: $DCP=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$$ Entonces: $TEX: $\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+\dfrac{c^{2}\sqrt{3}}{4}+\dfrac{b^{2}\sqrt{3}}{4}+3\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}=2(\dfrac{L^{2}\sqrt{3}}{4})$$ $TEX: $\dfrac{(a^{2}+c^{2}+b^{2})\sqrt{3}}{4}+3\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}=\dfrac{L^{2}\sqrt{3}}{2}$$ $TEX: $\dfrac{a^{2}+c^{2}+b^{2}}{4}+\sqrt{3S(S-a)(S-b)(S-c)}=\dfrac{L^{2}}{2}$$ $TEX: $\dfrac{a^{2}+c^{2}+b^{2}}{2}+2\sqrt{3S(S-a)(S-b)(S-c)}=L^{2}$$ $TEX: $\sqrt{\dfrac{a^{2}+c^{2}+b^{2}}{2}+2\sqrt{3S(S-a)(S-b)(S-c)}}=L$$ Mensaje modificado por Nabodorbuco el Nov 10 2009, 09:16 PM -------------------- FunGeometry SIEMPRE CON LAS MEJORES INTENCIONES DE AYUDAR. ATTE. NABODORBUCO EL TERCER OJO GoGeometry LA IDEA ES QUE NO ESPERES QUE FMAT RESUELVA TUS TAREAS, ESCRIBE SIEMPRE CUALES SON TUS INQUIETUDES

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2009, 12:29 PM Publicado: #24
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Nabodorbuco @ Nov 9 2009, 10:34 PM) Aqui vamos Pruebe que es posible construir un triángulo cuyos lados miden $TEX: $a,b,c$$ Creo al menos que la primera pregunta de alguna manera quien la planteo penso en esta solucion: Tomamos el triangulo APB y hacemos coincidir su base con el lado AC resultando el triangulo APC y se formara un triangulo equilatero de lado $TEX: $a$$ y por consiguiente en el triangulo DPC ocurre que $TEX: $AP=DP=a$$ $TEX: $BP=CP=b$$ Y como sabemos que $TEX: $PC=c$$ tenemos un triangulo de lados $TEX: $a, b, c$$ Triangulo_Equilatero.JPG ( 14.88k ) Número de descargas: 2 Encuentre $TEX: $l$$ en términos de $TEX: $a,b,c$$ Para esto sumaremos las areas de los triangulos Notemos primero que el triangulo CBE es la superposicion del triangulo CPA sobre el segmento CB y analogamente obtenemos el triangulo BFA en relacion al BPC. Veremos ahora que aparece tres veces el triangulo de lados $TEX: $a, b, c$$ puesto que $TEX: $DCP=EBP=FAP$$ . Entonces si sumamos todas estas areas tenemos que: $TEX: $(ADP+DCP)+(CPE+EBP)+(BFP+FAP)=$$ $TEX: $(CPA+ADC)+(CEB+BPC)+(BFA+APB)$$ $TEX: $=(CPA+APB)+(CPA+BPC)+(BPC+APB)$$ $TEX: $=2(CPA+APB+BPC)=2(ABC)$$ O sea $TEX: $ADP+DCP+CEP+EBP+BFP+FAP=2(ABC)$$ Podemos expresar ahora lo siguiente $TEX: $ABC=\dfrac{L^{2}\sqrt{3}}{4}$$ $TEX: $APD=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$ $TEX: $CPE=\dfrac{c^{2}\sqrt{3}}{4}$$ $TEX: $BPF=\dfrac{b^{2}\sqrt{3}}{4}$$ Aplicando Herón ycon $TEX: $\dfrac{a+b+c}{2}=S$$ $TEX: $DCP=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$$ Entonces: $TEX: $\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+\dfrac{c^{2}\sqrt{3}}{4}+\dfrac{b^{2}\sqrt{3}}{4}+3\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}=2(\dfrac{L^{2}\sqrt{3}}{4})$$ $TEX: $\dfrac{(a^{2}+c^{2}+b^{2})\sqrt{3}}{4}+3\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}=\dfrac{L^{2}\sqrt{3}}{2}$$ $TEX: $\dfrac{a^{2}+c^{2}+b^{2}}{4}+\sqrt{3S(S-a)(S-b)(S-c)}=\dfrac{L^{2}}{2}$$ $TEX: $\dfrac{a^{2}+c^{2}+b^{2}}{2}+2\sqrt{3S(S-a)(S-b)(S-c)}=L^{2}$$ $TEX: $\sqrt{\dfrac{a^{2}+c^{2}+b^{2}}{2}+2\sqrt{3S(S-a)(S-b)(S-c)}}=L$$ En la primera parte cambia CP por CD ahi donde dice PB=CP debe decir PB=CD=b hasta ahora ese es el uncio error de tipeo. Saludos Nabodorbuco -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Nabodorbuco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2009, 06:22 PM Publicado: #25
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 513 Registrado: 25-April 08 Desde: CSMC Miembro Nº: 21.189 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Editado -------------------- FunGeometry SIEMPRE CON LAS MEJORES INTENCIONES DE AYUDAR. ATTE. NABODORBUCO EL TERCER OJO GoGeometry LA IDEA ES QUE NO ESPERES QUE FMAT RESUELVA TUS TAREAS, ESCRIBE SIEMPRE CUALES SON TUS INQUIETUDES

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2012, 12:48 PM Publicado: #26
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Una solución alternativa al P4: Usando la propiedad $TEX: $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{-c}{-d}=\frac{a-c}{b-d}$$ si $TEX: $\displaystyle b\neq d$$ . Claramente se tiene que $TEX: $\displaystyle 1-a\neq 1-b$$ porque $TEX: $\displaystyle a\neq b$$ , luego se puede usar esta propiedad en el problema, usando esto tenemos que: $TEX: $\displaystyle \frac{bc-a^{2}}{1-a}=\frac{ac-b^{2}}{1-b}=\frac{b^{2}-ac}{b-1}=\frac{b^{2}-a^{2}+bc-ac}{b-a}=\frac{(b-a)(b+a)+c(b-a)))}{b-a}=\frac{(b-a)(a+b+c))}{b-a}=a+b+c$$ Demostrando lo pedido $TEX: $\displaystyle \blacksquare $$ Saludos !!! -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

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