I OIM: 1985 - Foro fmat.cl

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I OIM: 1985, Sin resolver: 2', 6'

Corecrasher	Dec 18 2005, 09:26 PM Publicado: #11
Invitado	$TEX: Luego:$ $TEX: \frac{(CAB)}{(CD)}=\frac{(XAB)}{(XD)}=\frac{(CAB)-(XAB)}{(CD)-(XD)}=\frac{(CAXB)}{XC}$ $TEX: \Rightarrow$ $TEX: \frac{(CAXB)}{(CAB)}=\frac{XC}{CD} ()$ $TEX: Luego: (Retomando la primera figura):$ $TEX: Por () , tenemos:$ $TEX: \frac{(ABOC)}{(ABC)}=\frac{OA}{AD}=\frac{R}{AD}$ $TEX: \frac{(BCOA)}{(ABC)}=\frac{OB}{BE}=\frac{R}{BE}$ $TEX: \frac{(CAOB)}{(ABC)}=\frac{OC}{CF}=\frac{R}{CF}$ $TEX: Es facil darse cuenta que la suma de las areas de ABOC,BCOA,CAOB es 2 veces el$ $TEX: area del \triangle ABC , luego sumando:$ $TEX: \frac{R}{AD}+\frac{R}{BE}+\frac{R}{CF}=\frac{[(ABOC)+(BCOA)+(CAOB)]}{(ABC)}=\frac{2(ABC)}{(ABC)}=2$ $TEX: \Rightarrow$ $TEX: \frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{2}{R}$ $TEX: QED$

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2005, 11:04 PM Publicado: #12
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ahora si, la solucion esta bien explicada y paso por paso . Es una solucion muy grata a la vista, por las figuras, son de gran ayuda. Muy bien, nada ke objetar Saludos --------------------

dex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2005, 11:17 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 725 Registrado: 17-July 05 Desde: Puente Alto-Santiago Miembro Nº: 148 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Opino igual Bonita solucion y queda por entendido el teorema de Van Aubel cuando las cevianas pasan por el centro de la circunferencia circunscrita ! ! Saludos Dex! -------------------- "Resolver un problema es una meta específica de la inteligencia e inteligencia es el don específico de los seres humanos: Resolver un problema es la actividad humana por excelencia"

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 1 2006, 03:31 AM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Así es... los problemas 3 y 6 están resueltos correctamente... ya son dos problemas menos por responder en esta olimpiada Un comentario sobre el problema 5', en realidad a un alcance de Guia Rojo: CITA(Guía Rojo @ Nov 25 2005, 04:03 PM) Estoy tratando de hacer el 5'... más rato lo posteo... Yo creo que ha pasado un rato muy largo desde Noviembre hasta la fecha -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2006, 01:20 PM Publicado: #15
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Bueno, sin trigo, no hallé solución. $TEX: \noindent Por $\overline {AP}$ constru\'imos un tri\'angulo equil\'atero. Sea $\measuredangle {\text{ }}BQP = \gamma$\\<br />\\<br />\noindent Con facilidad puede observarse que el $\measuredangle {\text{ }}BAQ = \measuredangle {\text{ }}CAP$. Por otra parte $\overline {AP} = \overline {AQ}$ (lado del tri\'angulo equil\'atero) y $\overline {AC} = \overline {AB}$ (por el caso anterior), de esto conclu\'imos que el $\Delta APC \cong \Delta AQB$ (criterio l-a-l), entonces $\overline {PC} = \overline {QB}$ (lados hom\'ologos de los tri\'angulos iguales). No obstante, seg\'un la Ley del coseno:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \overline {PB} ^2 &= \overline {QB} ^2 + \overline {QP} ^2 - 2 \cdot \overline {QB} \cdot \overline {QP} \cdot \cos \gamma \\ <br /> \cos \gamma &= \frac{{\overline {QB} ^2 + \overline {QP} ^2 - \overline {PB} ^2 }}<br />{{2 \cdot \overline {QB} \cdot \overline {QP} }} \\ <br /> &= \frac{{8^2 + 5^2 - 7^2 }}<br />{{2 \times 8 \times 5}} \\ <br /> &= \frac{{40}}<br />{{80}} \\ <br /> &= \frac{1}<br />{2} \\ <br /> \gamma &= 60^\circ \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}\\<br />\\<br />\noindent Por tanto, el $\measuredangle {\text{ }}BQA = 120^\circ$. Reaplicando la Ley del coseno, tendremos:<br /><br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br /> \overline {AB} ^2 &= \overline {QA} ^2 + \overline {QB} ^2 - 2 \cdot \overline {QA} \cdot \overline {QB} \cdot \cos 120^\circ \\ <br /> &= 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \cdot \cos 120^\circ \\ <br /> &= 25 + 64 + 40 \\ <br /> &= 129 \\ <br /> \overline {AB} &= \sqrt {129} \\ <br />\end{aligned}<br />\end{equation}$

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2006, 02:02 PM Publicado: #16
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Respuesta correcta, en estos casos no hay que temer a la trigonometría. El ángulo de 60° es muy manipulable en este sentido. No tiene por qué suceder, pero entrego un problema complementario al que acaba de resolver Krizalid. Este nuevo problema será más afín al método zapateñe: Problema 2': Nuevamente consideramos un punto $TEX: $P$$ en la región interior de un $TEX: $\triangle ABC$$ equilátero, con $TEX: $AB=l$$ . Supongamos que $TEX: $PA=a,PB=b,PC=c$$ son datos conocidos Pruebe que es posible construir un triángulo cuyos lados miden $TEX: $a,b,c$$ Encuentre $TEX: $l$$ en términos de $TEX: $a,b,c$$ -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 4 2006, 09:08 PM Publicado: #17
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Nov 16 2005, 10:47 PM) Solución correcta (obviamente $TEX: $f(9)=f(3\cdot 3)=f(3)+f(3)=0$$ ). Veamos qué tal les va con la siguiente generalización: Problema 5': Pruebe que $TEX: $f$$ (cumpliendo las condiciones del problema 5) es idénticamente nula, o sea que todo número tiene por imagen a 0 Si $TEX: $n$$ es impar: 1) Termina en 1: $TEX: $f(10a+1)+f(3)=f(30a+3)$$ $TEX: $f(10a+1)=0$$ 2) Termina en 3, es cero por definicion 3)Termina en 7: $TEX: $f(10a+7)+f(3)+f(3)=f(90a+63)$$ $TEX: $f(10a+7)=0$$ 4)Termina en 9: $TEX: $f(10a+9)+f(3)+f(3)+f(3)=f(270+243a)$$ $TEX: $f(10a+9)=0$$ 5) Termina en 5: $TEX: $f(10)=f(2)+f(5)=0$$ Como es de enteros positivos a naturales, ni $TEX: $f(2)$$ , como $TEX: $f(5)$$ pueden ser mayores que cero, ya que esto obliga al otro a ser negativo; por ende son ambos cero. $TEX: $f(2)=f(5)=0$$ Luego, si termina en 5, dicho numero es de la forma: $TEX: $n=5^ib$$ , donde $TEX: $b$$ es impar y $TEX: $MCD(b;5)=1$$ : $TEX: $f(n)=f(5^i)+f(b)=if(5)+0=0$$ Y si es par, entonces, es una potencia de 2 por un impar: $TEX: $f(m)=f(2^jb)=jf(2)+0=0$$ Saludos

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 4 2006, 09:41 PM Publicado: #18
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ya completada la prueba, además se comienzan a resolver los ejercicios adicionales (los que vienen seguidos de comillas). La prueba de la OIM ya está completamente resuelta, pero faltan 1' y 2' por ahora. Así uno se siente más motivado a proponer ejercicios adicionales de ser posible -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2006, 02:47 PM Publicado: #19
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Nov 25 2005, 08:56 PM) Solución correcta, pero de todos modos creo que es muy sencillo buscar sólo las soluciones enteras... y por un momento perdiste de vista que los enteros incluyen números negativos por allí... ¿Por qué los descartaste? Sólo daré por hecho el problema, cuando alguien justifique que no pueden aparecer enteros negativos en la solución, o bien si alguien responde el siguiente problema (que es más general): Problema 1': Encuentre todas las soluciones complejas del sistema de ecuaciones del problema 1 Tenemos: $TEX: (1) $a+b+c=24$$ $TEX: (2) $a^2+b^2+c^2=210$$ $TEX: (3) $abc=440$$ por $TEX: (1):$ $TEX: (4) $a=24-b-c$$ $TEX: (5) $a^2=576+b^2+c^2+2bc-48b-48c$$ por $TEX: (3):$ $TEX: $$a=\frac{440}{bc}$$$ reemplazando en $TEX: (4):$ $TEX: $$\frac{440}{bc}=24-b-c$$$ $TEX: $440=24bc-b^2c-bc^2$$ $TEX: $b(c^2+c(b-24))=-440$$ $TEX: (6) $c^2+c(b-24)=\frac{-440}{b}$$ reemplazando $TEX: (5)$ en $TEX: (2):$ $TEX: $576+2b^2+2c^2+2bc-48b-48c=210$$ $TEX: $366+2b^2+2c^2+2bc=48b+48c$$ $TEX: $183+b^2+c^2+bc=24b+24c$$ $TEX: $c^2+c(b-24)=24b-183-b^2$$ reemplazando en $TEX: (6):$ $TEX: $$24b-183-b^2=\frac{-440}{b}$$$ $TEX: $24b^2-183b-b^3=-440$$ $TEX: $b^3-24b^2+183b-440=0$$ $TEX: $(b-5)(b-8)(b-11)=0$$ $TEX: $b_1=5$$ $TEX: $b_2=8$$ $TEX: $b_3=11$$ luego como las ecuaciones $TEX: (1)$ , $TEX: (2)$ y $TEX: (3)$ son simetricas, los valores de $TEX: $(a,b,c)$$ son: $TEX: (5,8,11)$ $TEX: (5,11,8)$ $TEX: (8,5,11)$ $TEX: (8,11,5)$ $TEX: (11,8,5)$ $TEX: (11,5,8)$ Salu

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 7 2006, 06:53 PM Publicado: #20
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Tal vez hubiese sido bueno dar un poco más de detalles para que se entendiera aún mejor la solución, pero está correcta. Aprovecho de compartir mi solución para el problema 1': $TEX: \begin{eqnarray}<br />a+b+c&=&24\\<br />&\Downarrow&\\<br />(a+b+c)^2&=&576\\<br />a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)&=&576\\<br />210+2(ab+ac+bc)&=&576\\<br />&\Downarrow&\\<br />ab+ac+bc&=&\frac{576-210}2\\<br />ab+ac+bc&=&183<br />\end{eqnarray}$ Consideremos el siguiente polinomio en la variable $TEX: $x$$ $TEX: \begin{eqnarray}<br />(x-a)(x-b)(x-c)&=&x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc\\<br />&=&x^3-24x^2+183x-440\\<br />&=&(x-5)(x-8)(x-11)<br />\end{eqnarray}$ Como $TEX: $a,b,c$$ son raíces del polinomio $TEX: $(x-5)(x-8)(x-11)$$ , entonces los únicos valores complejos que pueden asumir, son 5,8,11. Estos números no pueden estar repetidos, pues todas las raíces tienen multiplicidad 1. También, al menos uno de los números $TEX: $a,b,c$$ debe valer 5, al menos uno debe valer 8, al menos uno debe valer 11. Dicho de otro modo: $TEX: $(a,b,c)$$ es una permutación de los elementos de {5,8,11}, por lo tanto se obtienen exactamente seis ternas $TEX: $(a,b,c)\in\mathbb C^3$$ : (5,8,11) (5,11,8) (8,5,11) (8,11,5) (11,5,8) (11,8,5) -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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