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I OIM: 1985, Sin resolver: 2', 6'

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2005, 06:23 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Vamos con la primera, que no es tan complicada... podría decirse que es la olimpiada iberoamericana más fácil, a medida que pasan los años, la dificultad tiende a aumentar. Pidan ayuda y pongan sus soluciones, Estén atentos, que a veces podríamos invocar generalizaciones o discutir problemas. 1ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS Villa de Leyva, Colombia, 1985 Primera Prueba: Jueves 12 de Diciembre Problema 1: Encuentre todas las ternas $TEX: $(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3$$ tales que: $TEX: $\begin{array}{ccccccc}<br />a & + & b & + & c & = & 24 \\<br />a^2 & + & b^2 & + & c^2 & = & 210 \\<br /> & & & & abc & = & 440<br />\end{array}$$ Problema 2: Sea $TEX: $P$$ un punto en la región interior del $TEX: $\triangle ABC$$ equilátero, tal que $TEX: $PA=5,PB=7,PC=8$$ . Determine $TEX: $AB$$ Problema 3: Encuentre las raíces $TEX: $r_1,r_2,r_3,r_4$$ de la ecuación $TEX: $4x^4-ax^3+bx^2-cx+5=0$$ , si se sabe que son reales positivas y que: $TEX: $\displaystyle{\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1}$$ Segunda Prueba: Viernes 13 de Diciembre Problema 4: Sean $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}$$ tales que $TEX: $a\neq 1,b\neq 1,a\neq b$$ , y : $TEX: $\displaystyle{\frac{bc-a^2}{1-a}=\frac{ac-b^2}{1-b}}$$ Pruebe que ambas fracciones son iguales a $TEX: $a+b+c$$ Problema 5: Sea $TEX: $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{N}$$ una función que satisface las siguientes condiciones: $TEX: $\forall m,n\in\mathbb{Z}^+:f(mn)=f(m)+f(n)$$ $TEX: $f(n)=0$$ , si la cifra de las unidades de $TEX: $n$$ es 3 $TEX: $f(10)=0$$ Determine el valor de $TEX: $f(1985)$$ Problema 6: Dado un $TEX: $\triangle ABC$$ acutángulo sean $TEX: $D\in\overline{BC},E\in\overline{AC},F\in\overline{AB}$$ , tales que $TEX: $\overline{AD},\overline{BE}$$ y $TEX: $\overline{CF}$$ concurren en el circuncentro del triángulo. Si el circunradio mide $TEX: $r$$ , pruebe que: $TEX: $\displaystyle{\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{2}{r}}$$ Problemas adicionales (exclusivo para FMAT) Problema 1': Encuentre todas las soluciones complejas del sistema de ecuaciones del problema 1 Problema 2': Nuevamente consideramos un punto $TEX: $P$$ en la región interior de un $TEX: $\triangle ABC$$ equilátero, con $TEX: $AB=l$$ . Supongamos que $TEX: $PA=a,PB=b,PC=c$$ son datos conocidos Pruebe que es posible construir un triángulo cuyos lados miden $TEX: $a,b,c$$ Encuentre $TEX: $l$$ en términos de $TEX: $a,b,c$$ Problema 5': Pruebe que $TEX: $f$$ (cumpliendo las condiciones del problema 5) es idénticamente nula, o sea que todo número tiene por imagen a 0 Problema 6': Suponga ahora que el $TEX: $\triangle ABC$$ no es acutángulo. Defina los puntos $TEX: $D,E,F$$ análogamente. Enuncie y demuestre una identidad análoga a la que pide demostrar el problema 6. Resumen de soluciones Problema 1: 1 solución Aquí, resuelto por xsebastian Problema 2: 1 solución Aquí, resuelto por Krizalid Problema 3: 1 solución Aquí, resuelto por Guía Rojo Problema 4: 3 soluciones Aquí, resuelto por Guía Rojo Aquí, resuelto por Fushigi-kun Aquí, resuelto por Fushigi-kun (luego de una sugerencia de Kenshin) Problema 5: 1 solución Aquí, resuelto por Caetano Problema 6: 1 solución De aquí en adelante, resuelto por Corecrasher Problemas adicionales (exclusivo para FMAT) Problema 1': 2 soluciones Aquí, resuelto por Luffy Aquí, resuelto por xsebastian Problema 2': Pendiente de solución Problema 5': 1 solución Aquí, resuelto por Luffy Problema 6': Pendiente de solución -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Caetano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2005, 09:42 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 293 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 3 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solucion al problema 5: $TEX: $f(1985)=f(5\cdot 397)=f(5)+f(397)$$ Pero $TEX: $f(10)=f(2\cdot 5)=f(2)+f(5)=0$$ , pero como $TEX: $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\Rightarrow f(2)=f(5)=0$$ $TEX: $\Rightarrow f(1985)=f(397)$$ , pero notemos ke $TEX: $f(397\cdot 9)=f(3573)=0=f(397)+f(9)\Rightarrow f(397)=0$$ $TEX: $\Rightarrow f(1985)=0$$ facil y bonito --------------------

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2005, 09:47 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución correcta (obviamente $TEX: $f(9)=f(3\cdot 3)=f(3)+f(3)=0$$ ). Veamos qué tal les va con la siguiente generalización: Problema 5': Pruebe que $TEX: $f$$ (cumpliendo las condiciones del problema 5) es idénticamente nula, o sea que todo número tiene por imagen a 0 -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2005, 02:03 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Estoy tratando de hacer el 5'... más rato lo posteo... Aquí va la solución del 4: $TEX: \begin{eqnarray}<br />\frac{bc-a^2}{1-a} & = & \frac{ac-b^2}{1-b} \\<br />(bc-a^2)(1-b) & = & (ac-b^2)(1-a) \\<br />bc-a^2-b^2c+a^2b & = & ac-b^2-a^2c+ab^2 \\<br />a^2c-b^2c-a^2+b^2+a^2b-ab^2-ac+bc & = & 0 \\<br />c(a^2-b^2)-(a^2-b^2)+ab(a-b)-c(a-b) & = & 0 \\<br />(a-b)(c(a+b)-(a+b)+ab-c) & = & 0 \\<br />(b-a)((a+b)+c-ab-c(a+b)) & = & 0 \\<br />(b-a)(a+b+c-ab-ac-bc) & = & 0 \\<br />a+b+c-ab-ac-bc & = & 0 \\<br />a+b+c-ab-ac & = & bc \\<br />a+b+c-ab-ac-a^2 & = & bc-a^2 \\<br />(a+b+c)(1-a) & = & bc-a^2 \\<br />\mathbf{a+b+c} & \mathbf{=} & \mathbf{\frac{bc-a^2}{1-a}} \\<br />\mathbf{a+b+c} & \mathbf{=} & \mathbf{\frac{ac-b^2}{1-b}}<br />\end{eqnarray}$ y listo... Guía Rojo -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2005, 03:03 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución Problema 1 Como el producto de los tres números es 440, su factorización prima es $TEX: $\mathbf{11\cdot 2^3\cdot 5}$$ . Expresado en producto de tres factores, hay estas opciones: $TEX: $11\cdot 8\cdot 5$$ $TEX: $11\cdot 4\cdot 10$$ $TEX: $11\cdot 2\cdot 20$$ $TEX: $22\cdot 4\cdot 5$$ $TEX: $22\cdot 2\cdot 10$$ $TEX: $22\cdot 1\cdot 20$$ Hay más, pero contienen factores mayores que 24... De estos productos, calculamos la suma de cada uno, siendo $TEX: $\mathbf{11\cdot 8\cdot 5}$$ el único con suma 24. Ahora sumemos los cuadrados de sus factores: $TEX: $121+ 64+25=\mathbf{210}$$ Entonces esta es la única solución, y (obviamente) sus permutaciones: (11,8,5) (11,5,8) (8,11,5) (8,5,11) (5,11,8) (5,8,11) Guía Rojo -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2005, 07:56 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución correcta, pero de todos modos creo que es muy sencillo buscar sólo las soluciones enteras... y por un momento perdiste de vista que los enteros incluyen números negativos por allí... ¿Por qué los descartaste? Sólo daré por hecho el problema, cuando alguien justifique que no pueden aparecer enteros negativos en la solución, o bien si alguien responde el siguiente problema (que es más general): Problema 1': Encuentre todas las soluciones complejas del sistema de ecuaciones del problema 1 -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2005, 08:02 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La solución para el problema 4 está impecable, excepto por una cosa que no mencionaste: tenías en un momento: $TEX: $(b-a)\cdot F(a,b,c)=0$$ , y concluíste que $TEX: $F(a,b,c)=0$$ . Eso sucede porque en nuestras hipótesis aparece que $TEX: $a\neq b$$ . O sea ese dato que en un principio no se entendía mucho, servía para eso. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 11 2005, 11:40 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Aquí una solución para el problema 1, aunque hecho muy a la fuerza y con varias intervenciones. Lo más sano en este caso, es dar una guía con los pasos importantes de la solución: Primero, como $TEX: $abc=440$$ , entonces $TEX: $a,b,c$$ deben ser divisores enteros de 440. Ellos son: 1 2 4 5 8 10 11 20 22 40 44 55 88 110 220 440 y todos sus inversos aditivos. Segundo, como $TEX: $a^2+b^2+c^2=210$$ , entonces las posibilidades se reducen a -11 -10 -8 -5 -4 -2 -1 1 2 4 5 8 10 11 Tercero, se eliminan las opciones con números negativos, porque de haber uno, debe haber otro, y entonces no es posible llegar a que $TEX: $a+b+c=24$$ (en realidad queda a+b+c<11) Entonces debo tomar tres números de la lista 1 2 4 5 8 11 admitiendo repeticiones, en principio, para que se cumplan las ecuaciones del sistema. Como $TEX: $abc=440$$ , es necesario elegir 11. Ahora dos números que sumen 13 y multipliquen 40, la única opción que queda es 5 y 8. Por eso la única solución es 5,8,11, y todas las obtenidas por permutaciones. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 17 2005, 05:08 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Solución Problema 3 Si la suma de estos 4 números es 1, su media aritmética es $TEX: $\displaystyle{\frac{1}{4}}$$ Calculando su media geométrica: $TEX: $\displaystyle{\sqrt[4]{\frac{r_1\cdot r_2\cdot r_3\cdot r_4}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 8}}=\frac{1}{4}}$$ Porque de acuerdo a las fórmulas de Vieta se tiene que: $TEX: $\displaystyle{r_1\cdot r_2\cdot r_3\cdot r_4=\frac{5}{4}}$$ Se sabe que la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica, y que la igualdad sólo se cumple cuando los términos involucrados son iguales. Entonces: $TEX: $\displaystyle{\frac{r_1}{2}=\frac{r_2}{4}=\frac{r_3}{5}=\frac{r_4}{8}=\frac{1}{4}}$$ Y las raíces son: $TEX: \begin{eqnarray}<br />r_1 & = & \frac{1}{2} \\<br />r_2 & = & 1 \\<br />r_3 & = & \frac{5}{4} \\<br />r_4 & = & 2<br />\end{eqnarray}$ Guía Rojo -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Corecrasher	Dec 18 2005, 08:56 PM Publicado: #10
Invitado	$TEX: Problema 6:$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img220.imageshack.us/img220/8928/tomapenietenie1es.jpg');}" /> $TEX: Sea \triangle ABC el triangulo del enunciado y D,E,F los puntos con las caracteristicas mencionadas,$ $TEX: los segmentos AD,BE,CF concurren en O que es el centro de la circunferencia circunscrita a$ $TEX: \triangle ABC , es sabido que cuando 2 triangulos tienen la misma base$ $TEX: entonces sus areas son proporcionales a sus alturas , con lo que:$ screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img516.imageshack.us/img516/8748/triangle2mp.jpg');}" /> $TEX: Sea el \triangle ABC y X un punto interior cualquiera talque la recta CX corta a AB en D,$ $TEX: y las distancias de C y X a AB son a,b respectivamente , entonces:$ $TEX: \frac{(XAB)}{(CAB)}=\frac{\frac{AB \times b}{2}}{\frac{AB \times a}{2}}=\frac{b}{a}=\frac{XD}{CD}$

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