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32nd. OEMO - Advanced Students Competition (Fase Regional), 24 de Abril de 2002

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2016, 09:57 AM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	32nd. Austrian Mathematical Olympiad Regional Competition for Advanced Students Problema 1. Sea $TEX: $n$$ un entero y $TEX: $S(n)=\sum_{k=0}^{2000}n^k$$ . Determine el dígito final (unidades) en la expansión decimal de $TEX: $S(n)$$ Problema 2. Determine todas las soluciones reales de la ecuación: $TEX: $(x+1)^{2001}+(x+1)^{2000}(x-2)+(x+1)^{1999}(x-2)^2+...+ (x+1)(x-2)^{2000}+ (x-2)^{2001}=0$$ Problema 3. En un pentágono convexo $TEX: $ABCDE$$ las áreas de los triángulos $TEX: $ABC$$ , $TEX: $ABD$$ , $TEX: $ACD$$ y $TEX: $ADE$$ son todas iguales al mismo valor $TEX: $F$$ . ¿Cuál es el área del triángulo $TEX: $BCE$$ ? Problema 4. Sea $TEX: $A_0=\{1,2\}$$ y para $TEX: $n>0$$ sea $TEX: $A_n$$ el conjunto de todos los números que son o bien elementos de $TEX: $A_{n-1}$$ o que pueden ser representado como la suma de dos elementos distintos de $TEX: $A_{n-1}$$ . Además, sea $TEX: $a_n=\|A_n\|$$ el número de elementos de $TEX: $A_n$$ . Determine $TEX: $a_n$$ en funcion de $TEX: $n$$ . Problema 1: Resuelto por TM2K4 Problema 2: Resuelto por Escalera de penrose Problema 3: Resuelto por naruto2 Problema 4: Resuelto por Escalera de penrose Mensaje modificado por einstenio16 el Oct 15 2016, 08:02 PM -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

Escalera de penr... Escalera de penrose Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2016, 01:37 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 8-February 16 Miembro Nº: 143.585 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2: primero, recordar que: $TEX: $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+.....ab^{n-2}+b^{n-1}=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k$$ Con a=x+1 y b=x-2 , tenemos a-b=3 Asi que tenemos: $TEX: $\displaystyle\dfrac{(x+1)^{2002}-(x-2)^{2002}}{3}=0$$ O bien, $TEX: $(x+1)^{2002}=(x-2)^{2002}$$ Considerando que 2 no es solución de la ecuación, dividimos por $TEX: $(x-2)^{2002}$$ Y nos queda: $TEX: $(\displaystyle\dfrac{x+1}{x-2})^{2002}=1$$ Con raíces reales 1 y -1, asi que: $TEX: $\displaystyle\dfrac{x+1}{x-2}=1\vee\displaystyle\dfrac{x+1}{x-2}=-1$$ La primera ecuación es inconsistente. La segunda nos lleva a la única solución. X=1/2 Otra solución era factorizando todo de la siguiente manera: $TEX: $(x+1)^{2001}+(x+1)^{2000}(x-2)=(x+1)^{2000}(2x-1)$$ $TEX: $(x+1)^{1999}(x-2)^2+(x+1)^{1998}(x-2)^3=(x+1)^{1998}(x-2)^2(2x-1)$$ • • • $TEX: $(x+1)(x-2)^{2000}+(x-2)^{2001}=(x-2)^{2000}(2x-1)$$ Por lo que la ecuación nos queda: $TEX: $(2x-1)((x+1)^{2000}+(x+1)^{1998}(x-2)^2+(x+1)^{1996}(x-2)^4.....(x+1)^2(x-2)^{1998}+(x-2)^{2000})=0$$ Donde la única solución es x=1/2, pues el factor derecho cuenta sólo con sumandos de exponente par y no cuenta con raíces reales.

naruto2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2016, 01:49 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 272 Registrado: 5-April 12 Miembro Nº: 103.651 Sexo:	3 Para que los triangulos ABC y ABD tengan la misma area tiene que ser AB paralela a CD de este modo tenemos igual base y altura para ambos triangulos, ahora si DN y BL son las alturas desde D y B hacia el lado comun AC de los triangulos ABC y ACD tiene que ser DN=BL. Por el criterio de congruencia AAL tenemos que DNC=BLA tenemos asi que AB=DC y como estas son paralelas ABCD es un paralelogramo. Si CV y EW son las alturas de los triangulos ACD y ADE hacia el lado comun AD tiene que ser CV=EW entonces la altura del triangulo BCE es (CV+EW)=2CV pero BCCV es el area del paralelogramo ABCD se tiene asi que BCCV=2ABC=2F y el area de BCE es BC2CV/2=BCCV=2F. Asi que el area de BCE es 2F.

Escalera de penr... Escalera de penrose Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2016, 04:13 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 8-February 16 Miembro Nº: 143.585 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 4: tenemos que $TEX: $A_1=\{1,2,2+1\}=\{1,2,3\}$$ $TEX: $A_2=\{1,2,3,3+1,3+2\}=\{1,2,3,4,5\}$$ (donde se omiten los términos que se repiten) $TEX: $A_3=\{1,2,3,4,5,5+1,5+2,5+3,5+4\}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$ $TEX: $A_4=\{1,2,...........,9+8\}=\{1,2,.....,17\}$$ Aqui se puede notar que cada $TEX: $A_n$$ contiene todos los naturales hasta un cierto número k y que $TEX: $A_{n+1}$$ contiene a A_n mas los términos k+1,k+2,......,k+(k-1) Así, $TEX: $a_0=2 , a_1=3, a_2=5, a_3=9, a_4=17$$ etc. Si definimos: $TEX: $b_n=a_{n+1}-a_n$$ y $TEX: $b'_n=a_{n+1}+a_n$$ Notamos que $TEX: $b_n=2^n$$ y $TEX: $b'_{n+1}=2(b'_n-1)$$ Así: $TEX: $a_{n+2}+a_{n+1}=2(a_{n+1}+a_n-1)$$ $TEX: $a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_n-1)$$ $TEX: $2^{n+1}=2(a_n-1)$$ $TEX: $a_n=2^n+1$$ Podemos verificarlo fácilmente por inducción. Si $TEX: $A_n$$ tiene $TEX: $2^n+1$$ elementos, entonces $TEX: $A_{n+1}=\{1,2,3,..........(2^n+1),(2^n+1)+1,.......(2^n+1)+2^n\}$$ cuyo último número es $TEX: $2\cdot2^n+1=2^{n+1}+1$$ Mensaje modificado por Escalera de penrose el Oct 14 2016, 04:22 PM

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2016, 07:17 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Correcto los 3!!!!... Falta el primero nomas! Mensaje modificado por einstenio16 el Oct 14 2016, 07:19 PM -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

Escalera de penr... Escalera de penrose Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2016, 08:31 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 8-February 16 Miembro Nº: 143.585 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(einstenio16 @ Oct 14 2016, 07:47 PM) Correcto los 3!!!!... Falta el primero nomas! Para el primero, notar que S(1)=2001 Ahora, para n distinto de uno: $TEX: $S(n)=\displaystyle\dfrac{n^{2001}-1}{n-1}$$ Aqui no avanzo mas por que no me manejo con las congruencias, pero analizando algunos valores debiera dar 1 para todo n. Ojala alguien se anime y lo complete. Saludos.

TM2K4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 15 2016, 03:52 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.061 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola: Para el Problema 1: Para encontrar el último dígito, recuerden que el valor de la suma se podría escribir: $TEX: \[<br />S\left( n \right) = \sum\limits_{k = 0}^{2000} {n^k = \frac{{n^{2001} - 1}}{{n - 1}}} <br />\]$ . Siendo n un entero. Y para el valor resultante, se podría separar cada dígito de la siguiente forma: $TEX: \[<br />S\left( n \right) = a_i a_{i - 1} a_{i - 2} \ldots at = \sum\limits_{j = 1}^i {a_j 10^j + t} <br />\]<br />$ . Donde t es el último dígito. De esa forma: $TEX: \[<br />S\left( n \right) \equiv t\left( {\bmod \;10} \right)<br />\]$ Lo que es equivalente a: $TEX: \[<br />S\left( n \right) - t \equiv 0\left( {\bmod \;10} \right)<br />\]$ Luego, teniendo en mente que: $TEX: \[<br />2001 \equiv 1\left( {\bmod \;10} \right)<br />\]$ Vemos que: $TEX: \[<br />n^{2001} \equiv n\left( {\bmod \;10} \right)<br />\]$ Y en línea con lo que mencionaron en los post anteriores: $TEX: \[<br />\frac{{n^{2001} - 1}}{{n - 1}} \equiv t\left( {\bmod \;10} \right)<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />\frac{{n - 1}}{{n - 1}} \equiv t\left( {\bmod \;10} \right)<br />\]<br />$ $TEX: \[<br />1 \equiv t\left( {\bmod \;10} \right)<br />\]$ Por lo que t, o el último dígito de esa suma, debiera ser 1. ( $TEX: \[<br />t = 1<br />\]$ ) Les dejo dos links a unos apuntes que podrán ser útiles en esto : http://www.fiwiki.org/images/d/d3/MD_Tema3...ticaModular.pdf http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/20...s/Leccion13.pdf Saludos. -------------------- Manual de Latex! Software generador de código Latex!

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 15 2016, 08:01 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Genial! Todos resueltos -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

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