XXXI OIM: 2016 Opciones

[Killua]

31ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS
Antofagasta, Chile, 2016

Primera Prueba

Problema 1: Encuentre todos los números primos tales que .

Problema 2: Sea . Encuentre todos los tales que .

Problema 3: Sea un triángulo acutángulo y su circunferencia circunscrita. Sea el punto de intersección entre las rectas tangentes a por y por . Sea un punto en el arco que no contiene a tal que y , y el punto de intersección de las rectas y . Sea el punto simétrico a con respecto a la recta y el punto de intersección de las rectas y . Sea el punto medio de y el punto de intersección entre la recta y la recta paralela a que pasa por . Pruebe que y pertenecen a una misma circunferencia.

Segunda Prueba

Problema 4: Determine el número máximo de alfiles que se puede ubicar en un tablero de ajedrez de de modo que no haya dos alfiles en la misma casilla, y que cada alfil es amenazado por a lo más un alfil.

Nota: Un alfil amenaza a otro si ambos están en distintas casillas y en la misma diagonal. Un tablero tiene como diagonales las dos principales y todas las paralelas a estas dos.

Problema 5: Las circunferencias y se cortan en dos puntos distintos y . La tangente común a y más cercana a corta a en y a en . Sea el pie de la perpendicular desde a , y sea el pie de la perpendicular desde a . Si y son los puntos simétricos de con respecto a las rectas y , respectivamente, pruebe que y son colineales.

Problema 6: Sea un entero positivo y dígitos. Demuestre que existe un entero positivo tales que los últimos dígitos de son, en el orden siguiente, , para ciertos dígitos .

[TM2K4]

Excelente aporte!
Saludos.