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2da Fecha CMAT 2007, Primer Nivel

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2007, 02:14 AM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Aca les dejo un ejemplar imprimible para que todos posean la 2da Fecha del Primer Nivel. A mi juicio, el P1 era bastante simple y el P2 ya era un poquito mas elaborado. Saludos Archivo(s) Adjunto(s) Primer_Nivel.pdf ( 38.87k ) Número de descargas: 170 -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2007, 04:47 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Solución Problema 2 $TEX: \noindent $a)$\\<br /> Basta analizar lo siguiente: Para llegar al $Km\ 1$, tarda 1 minuto, para llegar al $Km\ 2$, tarda 4 minutos, para llegar al $Km\ 3$ tarda 9 minutos.Diremos entonces que para llegar al $Km\ k$, la m\'aquina tarda $k^2$ minutos.Entonces, llevando esto al problema: $k^2$=100 $\Rightarrow$ k=10.La m\'aquina llega hasta el $Km 10$ en el primer d\'ia.$ $TEX: \noindent $b)$\\<br />Seg\'un lo anterior, la m\'aquina se detuvo en el $Km\ 10$ el primer d\'ia , luego debe ir al abastecimiento, luego ir al $Km\ 11$, luego recorrer $11\ Km$ para abastecerse, y $12\ Km$ , para luego volver a abastecerse. Luego debemos buscar una suma de esa forma que no exceda a 100: $10+2\cdot 11 + 2\cdot 12 + 2\cdot 13 + 14 =96$.Entonces pint\'o $4\ Km$ y qued\'o en el $Km\ 10$ en el segundo d\'ia.$ $TEX: \noindent $c)$\\<br />Seg\'un lo anterior, la m\'aquina se detuvo en el $Km\ 10$, luego debe recorrer $10\ Km$ para abastecerse, luego $15\ Km$ hasta el $Km\ 15$, luego $15\ Km$ de vuelta, $16\ Km$ hasta el $Km\ 16$, $16\ Km$ de vuelta.Entonces deberemos buscar una suma que no exceda al 100: $10+2 \cdot 15+2 \cdot 16+17=89$.La m\'aquina pint\'o 3 Km el tercer d\'ia y se detuvo en el $Km\ 6$.En el cuarto d\'ia, la m\'aquina debe recorrer $6\ Km$ para abastecerse, $18\ Km$ hasta el $Km\ 18$, $18\ Km$ para abastecerse.Entonces debemos buscar una suma que no exceda al 100: $6+2\cdot 18+2\cdot 19 +20 = 94$.La m\'aquina pint\'o $3\ km$ el cuarto d\'ia y qued\'o en el $Km\ 14$.En el quinto d\'ia, la m\'aquina recorre $14\ Km$ al abastecimiento, luego $21\ Km$ al $Km\ 21$, luego $21\ Km$ al abastecimiento, luego $22\ Km$ y $22\ Km$ de vuelta a abastecerse. Debemos buscar una suma que no exceda al 100: $14+2 \cdot 21 +2 \cdot 22=100$.La m\'aquina pint\'o $2\ Km$ el quinto d\'ia. El primer d\'ia en que la m\'aquina pinta 2 $Km$ es el quinto d\'ia$ Saludos Mensaje modificado por Felipe_ambuli el May 27 2007, 07:32 PM

fs_tol Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 05:32 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 670 Registrado: 30-January 06 Desde: Ñuñoa, Santiago Miembro Nº: 524 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Felipe_ambuli @ May 27 2007, 04:47 PM) Solución Problema 2 $TEX: \noindent $a)$\\<br /> Basta analizar lo siguiente: Para llegar al $Km\ 1$, tarda 1 minuto, para llegar al $Km\ 2$, tarda 4 minutos, para llegar al $Km\ 3$ tarda 9 minutos.Diremos entonces que para llegar al $Km\ k$, la m\'aquina tarda $k^2$ minutos.Entonces, llevando esto al problema: $k^2$=100 $\Rightarrow$ k=10.La m\'aquina llega hasta el $Km 10$ en el primer d\'ia.$ $TEX: \noindent $b)$\\<br />Seg\'un lo anterior, la m\'aquina se detuvo en el $Km\ 10$ el primer d\'ia , luego debe ir al abastecimiento, luego ir al $Km\ 11$, luego recorrer $11\ Km$ para abastecerse, y $12\ Km$ , para luego volver a abastecerse. Luego debemos buscar una suma de esa forma que no exceda a 100: $10+2\cdot 11 + 2\cdot 12 + 2\cdot 13 + 14 =96$.Entonces pint\'o $4\ Km$ y qued\'o en el $Km\ 10$ en el segundo d\'ia.$ $TEX: \noindent $c)$\\<br />Seg\'un lo anterior, la m\'aquina se detuvo en el $Km\ 10$, luego debe recorrer $10\ Km$ para abastecerse, luego $15\ Km$ hasta el $Km\ 15$, luego $15\ Km$ de vuelta, $16\ Km$ hasta el $Km\ 16$, $16\ Km$ de vuelta.Entonces deberemos buscar una suma que no exceda al 100: $10+2 \cdot 15+2 \cdot 16+17=89$.La m\'aquina pint\'o 3 Km el tercer d\'ia y se detuvo en el $Km\ 6$.En el cuarto d\'ia, la m\'aquina debe recorrer $6\ Km$ para abastecerse, $18\ Km$ hasta el $Km\ 18$, $18\ Km$ para abastecerse.Entonces debemos buscar una suma que no exceda al 100: $6+2\cdot 18+2\cdot 19 +20 = 94$.La m\'aquina pint\'o $3\ km$ el cuarto d\'ia y qued\'o en el $Km\ 14$.En el quinto d\'ia, la m\'aquina recorre $14\ Km$ al abastecimiento, luego $21\ Km$ al $Km\ 21$, luego $21\ Km$ al abastecimiento, luego $22\ Km$ y $22\ Km$ de vuelta a abastecerse. Debemos buscar una suma que no exceda al 100: $14+2 \cdot 21 +2 \cdot 22=100$.La m\'aquina pint\'o $2\ Km$ el quinto d\'ia. El primer d\'ia en que la m\'aquina pinta 2 $Km$ es el quinto d\'ia$ Saludos Solución correcta, quedamos a la espera de una para el problema 1 Saludos -------------------- $TEX: $CARITA$$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2008, 03:00 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Bueno; para terminar esta prueba , pongo la solucion al P1 Solucion Problema 1: $TEX: \noindent $a)$ Las columnas (verticales) seran enumeradas de izquierda a derecha con los numeros $1,...,6$ y las filas (horizontales) enumeradas de arriba para abajo con los numeros $1,...,6$. La casilla $(i,j)$ es aquella que se encuentra en la columna $i$ y en la fila $j$.\\<br />i. Primer turno de $A$: $A$ elige las casillas $(1,1); (1,2); (1,3)$ y pone las $\times '$s.\\<br />ii. Primer turno de $B$: la columna 1 tiene exactamente tres casillas vacias, luego necesariamente $B$ debe marcar una de esas casillas si no quiere que $A$ gane colocando las tres $\times '$s restantes, completando la columna. Sin perdida de generalidad, asumamos que $B$ elige la casilla $(1,4)$ y pone el $\circ$.\\<br />iii. Segundo turno de $A$: este elige las casillas $(2,1); (3,1); (2,2)$.\\<br />iv. Segundo turno de $B$: este nota que la fila 1 tiene exactamente tres casillas vacias, luego necesariamente $B$ debe marcar una de esas casillas si no quiere que $A$ gane colocando las tres $\times '$s restantes, completando la fila. Sin perdida de generalidad, asumamos que $B$ elige la casilla $(4,1)$ y pone el $\circ$.\\<br />v. Tercer turno de $A$: este elige las casillas $(3,2); (2,3); (3,3)$.\\<br />vi. Tercer turno de $B$: este nota que las filas 2 y 3 tienen exactamente tres casillas vacias, luego debera poner su $\circ$ en alguna de estas filas, como no puede poner dos $\circ$ a la vez, cualquiera sea su eleccion, $A$ gana en el turno que sigue, completando la fila en la que $B$ no puso su $\circ$.\\<br />vii. Cuarto turno de $A$: este gana. Notar que $A$ tardo tres turnos en formar el subtablero de $3\times 3$, luego gana en el turno $3+1=4$, cumpliendo con lo pedido.\\<br />$b)$ El metodo que debe seguir $A$ para $n>3$ es el siguiente:\\<br />i. Primer turno de $A$: $A$ elige las casillas $(1,1); (2,1); (3,1),...,(n,1)$ (eligio exactamente $n$ casillas) y marca las $\times '$s.\\<br />ii. Primer turno de $B$: este nota que en la fila 1 hay $n$ casillas vacias, luego debe colocar su $\circ$ en alguna de estas casillas si no quiere que $A$ gane en el turno siguiente, colocando las $n$ casillas sobrantes en la fila, completandola. Sin perdida de generalidad, asumamos que $B$ marca la casilla $(n+1,1)$.\\<br />iii. Segundo turno de $A$: $A$ elige las casillas $(1,2); (2,2); (3,2),...,(n,2)$ y marca sus $\times '$s.\\<br />iv. Segundo turno de $B$: este nota que en la fila 2 quedan $n$ casillas vacias, luego debe marcar una de esas si no quiere que $A$ gane en el proximo turno, colocando las $n$ $\times '$s restantes. Sin perdida de generalidad, asumamos que puso un $\circ$ en la casilla $(n+1,2)$.\\<br />v. Tercer turno de $A$: $A$ elige las casillas $(1,3); (2,3); (3,3),...,(n,3)$ y marca sus $\times '$s.$ $TEX: \noindent vi. Tercer turno de $B$: este nota que la fila 3 quedan $n$ casillas vacias, luego debe marcar una de esas si no quiere que $A$ gane en el proximo turno, colocando las $n\times '$s restantes. Sin perdida de generalidad, asumamos que puso un $\circ$ en la casilla $(n+1,3)$.\\<br />...\\<br />De esta forma, en el n-esimo turno de $A$, este elige las casillas $(1,n); (2,n),...,(n,n)$ y obtiene un subtablero de $n\times n$ casillas marcadas con $\times '$s y las columnas $1,...,n$ tienen exactamente $n$ casillas vacias, luego, cualquiera sea la eleccion de $B$, $A$ gana en el turno $n+1$ colocando las $n$ $\times '$s sobrantes en alguna de las columnas $1,...,n$, cumpliendo con lo pedido.$ Saludos Mensaje modificado por Felipe_ambuli el May 29 2008, 03:57 PM

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