Curva cerrada simple, Propuesto Opciones

[TM2K4]

Hola:

Les dejo este propuesto para ver si lo resuelven.

Una curva cerrada simple que es muy sinuosa está escondida bajo un pedazo de papel con un hueco cuadrado, de manera que una parte de la curva es visible, como se ve en la ilustración. Si te decimos que la región A está adentro de la curva, entonces la región B, ¿está adentro o afuera?

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Veamos cómo les va.
Recuerden justificar sus respuestas.

Saludos.

[Matriu]

B está dentro. Por el Teorema de la curva de Jordan, una curva cerrada simple divide en dos componentes conexas, a saber, la parte que queda dentro de la curva, y la que queda fuera. Si B está fuera de la curva, entonces la curva tendría al menos una autointersección, pero la curva es simple. Por lo tanto B debe estar dentro. Otra forma es que si B está fuera, entonces la curva diviría el plano en al menos tres partes, una contradicción.
Otra forma más intuitiva es ver que las regiones que están dentro de la curva están separadas por un número par de curvas (valga la redudancia), y una región de dentro está separada por un número impar de curvas por una región que está fuera. Usando esto, vemos que si vamos de A a B por un camino, cortamos como mínimo dos curvas, luego, B debe estar dentro.

[TM2K4]

B está dentro. Por el Teorema de la curva de Jordan, una curva cerrada simple divide en dos componentes conexas, a saber, la parte que queda dentro de la curva, y la que queda fuera. Si B está fuera de la curva, entonces la curva tendría al menos una autointersección, pero la curva es simple. Por lo tanto B debe estar dentro. Otra forma es que si B está fuera, entonces la curva diviría el plano en al menos tres partes, una contradicción.
Otra forma más intuitiva es ver que las regiones que están dentro de la curva están separadas por un número par de curvas (valga la redudancia), y una región de dentro está separada por un número impar de curvas por una región que está fuera. Usando esto, vemos que si vamos de A a B por un camino, cortamos como mínimo dos curvas, luego, B debe estar dentro.

Respuesta correcta! Excelente!