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32nd. OEMO - Begginer's Competition, 7 de Junio de 2001

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2016, 10:37 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	The 32st. Austrian Mathematical Olympiad OEMO 2001 - Begginer's Competition Problema 1. Pruebe que para todo entero positivo impar $TEX: $n$$ el número $TEX: $n^n-n$$ es divisible por 24. Problema 2. Consideremos la ecuación cuadrática $TEX: $x^2-2mx-1=0$$ , donde $TEX: $m$$ es un número real arbitrario. Para qué valores de $TEX: $m$$ la ecuación tiene dos soluciones reales, de manera que la suma de sus cubos es igual a ocho veces su suma. Problema 3. Determine todos los números reales $TEX: $x$$ tales que $TEX: $(x-1)^2(x-4)^2<(x-2)^2$$ . Problema 4. Sea $TEX: $ABC$$ un triángulo cuyos ángulos $TEX: $\alpha=\angle CAB$$ y $TEX: $\beta=\angle CBA$$ son mayores que $TEX: $45^{\circ}$$ . Por encima del lado $TEX: $AB$$ se construye un triángulo isósceles rectángulo $TEX: $ABR$$ con $TEX: $AB$$ como hipotenusa, tal que $TEX: $R$$ se encuentra en el interior del triángulo $TEX: $ABC$$ . Análogamente construimos por encima de los lados $TEX: $BC$$ y $TEX: $AC$$ los triángulos isósceles rectángulos $TEX: $CBP$$ y $TEX: $ACQ$$ , rectángulos en $TEX: $P$$ y en $TEX: $Q$$ , pero con estos fuera del triángulo $TEX: $ABC$$ . Demostrar que $TEX: $CQRP$$ es un paralelogramo. Problema 1: Pendiente Problema 2: Resuelto por Escalera de penrose Problema 3: Resuelto por pprimo Problema 4: Pendiente Mensaje modificado por einstenio16 el Oct 7 2016, 12:06 PM -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

TM2K4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 25 2016, 09:15 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.062 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola: Para los que se motiven, les dejo algunos "hints" Problema 1: Pueden partir viendo qué ocurre con inducción matemática Problema 2: Recuerden la forma de las soluciones de una ecuación cuadrática. Problema 3: Recuerden ver qué pasa en los intervalos en que cada uno de los factores cambia de signo. Veamos si alguien resuelve alguno! Saludos. -------------------- Manual de Latex! Software generador de código Latex!

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2016, 08:56 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(einstenio16 @ Sep 23 2016, 10:37 PM) The 32st. Austrian Mathematical Olympiad OEMO 2001 - Begginer's Competition Problema 3. Determine todos los números reales $TEX: $x$$ tales que $TEX: $(x-1)^2(x-4)^2<(x-2)^2$$ . Esto es equivalente a resolver $TEX: $$\left\| \frac{x^{2}-5x+4}{x-2} \right\|<1$$$ Aplicando propiedad del valor absoluto en una desigualdad $TEX: $$-1<\frac{x^{2}-5x+4}{x-2}<1$$$ separando $TEX: $$-1<\frac{x^{2}-5x+4}{x-2}\wedge \frac{x^{2}-5x+4}{x-2}<1$$$ es decir debemos resolver $TEX: $$0<\frac{x^{2}-4x+2}{x-2}\wedge \frac{x^{2}-6x+6}{x-2}<0$$$ aplicando teorema del signo $TEX: $$\left( x^{2}-4x>-2\wedge x>2 \right)\vee \left( x^{2}-4x<-2\wedge x<2 \right)\wedge \left( x^{2}-6x>-6\wedge x<2 \right)\vee \left( x^{2}-6x<-6\wedge x>2 \right)$$$ para el primer parentesis $TEX: $$S_{1}=\left( \left( x-\left( 2+\sqrt{2} \right) \right)\left( x-\left( 2-\sqrt{2} \right) \right)>0\wedge x>2 \right)\vee \left( \left( x-\left( 2+\sqrt{2} \right) \right)\left( x-\left( 2-\sqrt{2} \right) \right)<0\wedge x<2 \right)$$$ $TEX: $$=\left( x<2-\sqrt{2}\vee 2+\sqrt{2}<x\wedge x>2 \right)\vee \left( 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}\wedge x<2 \right)$$$ $TEX: $$=\left( 2+\sqrt{2}<x \right)\vee \left( 2-\sqrt{2}<x<2 \right)$$$ $TEX: $$S_{2}=\left( \left( x-\left( 3+\sqrt{3} \right) \right)\left( x-\left( 3-\sqrt{3} \right) \right)>0\wedge x<2 \right)\vee \left( \left( x-\left( 3+\sqrt{3} \right) \right)\left( x-\left( 3-\sqrt{3} \right) \right)<0\wedge x>2 \right)$$$ $TEX: $$=\left( x<3-\sqrt{3}\vee 3+\sqrt{3}<x\wedge x<2 \right)\vee \left( 3-\sqrt{3}<x<3+\sqrt{3}\wedge x>2 \right)$$$ $TEX: $$=\left( x<3-\sqrt{3} \right)\vee \left( 2<x<3+\sqrt{3} \right)$$$ $TEX: $$S=S_{1}\cap S_{2}=\left( \left( 2+\sqrt{2}<x \right)\vee \left( 2-\sqrt{2}<x<2 \right) \right)\cap \left( \left( x<3-\sqrt{3} \right)\vee \left( 2<x<3+\sqrt{3} \right) \right)$$$ $TEX: $$=\left( 2-\sqrt{2},3-\sqrt{3} \right)\cup \left( 2+\sqrt{2},3+\sqrt{3} \right)$$$

TM2K4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2016, 09:29 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.062 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Sep 28 2016, 10:56 PM) $TEX: $$=\left( 2-\sqrt{2},3-\sqrt{3} \right)\cup \left( 2+\sqrt{2},3+\sqrt{3} \right)$$$ Respuesta correcta Saludos. -------------------- Manual de Latex! Software generador de código Latex!

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2016, 07:42 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	era mas rapido hacer $TEX: $$\left( x-2 \right)^{2}-\left( x^{2}-5x+4 \right)^{2}=\left( x^{2}-4x+2 \right)\left( x^{2}-6x+6 \right)<0$$<br />$

TM2K4 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 30 2016, 07:12 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.062 Registrado: 16-May 05 Desde: Industrias (USACH) Miembro Nº: 35 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Sep 29 2016, 09:42 PM) era mas rapido hacer $TEX: $$\left( x-2 \right)^{2}-\left( x^{2}-5x+4 \right)^{2}=\left( x^{2}-4x+2 \right)\left( x^{2}-6x+6 \right)<0$$<br />$ En efecto, esa es la forma más rápida al parecer. Es un buen caso de uso de la suma por diferencia. Saludos! -------------------- Manual de Latex! Software generador de código Latex!

Escalera de penr... Escalera de penrose Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 7 2016, 12:01 PM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 8-February 16 Miembro Nº: 143.585 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2 primero, notar que la solución trivial es m=0, pues resolviendo $TEX: $x^2-1=0$$ con soluciones 1 y -1 se verifica que: $TEX: $1^3+(-1)^3=0=8(1+(-1))$$ Ahora para la solución no trivial, sean a y b las soluciones de la ecuación y m distinto de cero. tenemos por cardano-vieta: $TEX: $a+b=2m$$ $TEX: $ab=-1$$ Y además por hipotesis: $TEX: $a^3+b^3=8(a+b)=16m$$ Desarrollando la suma de cubos tenemos: $TEX: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=2m(a^2+1+b^2)=16m$$ Dividiendo las últimas dos igualdades por 2m llegamos a: $TEX: $a^2+b^2=7$$ Ahora notar que: $TEX: $(a+b)^2=4m^2=a^2+2ab+b^2=7-2=5$$ $TEX: $m^2=\displaystyle\dfrac{5}{4}$$ Con $TEX: $m=\displaystyle\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ Nos queda: $TEX: $x^2-\sqrt{5}x-1$$ con soluciones: $TEX: $x=\displaystyle\dfrac{\sqrt{5}\pm3}{2}$$ Si recordamos que estas soluciones son a y b, entonces las soluciones con $TEX: $m=-\displaystyle\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ son -a y -b Y $TEX: $(-a)^3+(-b)^3=-(a^3+b^3)=-8(a+b)=8(-a-b)$$ Que también cumple con las condiciones. Por lo tanto las soluciones son $TEX: $m=0,\pm\displaystyle\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 7 2016, 12:05 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Escalera de penrose @ Oct 7 2016, 12:01 PM) Problema 2 primero, notar que la solución trivial es m=0, pues resolviendo $TEX: $x^2-1=0$$ con soluciones 1 y -1 se verifica que: $TEX: $1^3+(-1)^3=0=8(1+(-1))$$ Ahora para la solución no trivial, sean a y b las soluciones de la ecuación y m distinto de cero. tenemos por cardano-vieta: $TEX: $a+b=2m$$ $TEX: $ab=-1$$ Y además por hipotesis: $TEX: $a^3+b^3=8(a+b)=16m$$ Desarrollando la suma de cubos tenemos: $TEX: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=2m(a^2+1+b^2)=16m$$ Dividiendo las últimas dos igualdades por 2m llegamos a: $TEX: $a^2+b^2=7$$ Ahora notar que: $TEX: $(a+b)^2=4m^2=a^2+2ab+b^2=7-2=5$$ $TEX: $m^2=\displaystyle\dfrac{5}{4}$$ Con $TEX: $m=\displaystyle\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ Nos queda: $TEX: $x^2-\sqrt{5}x-1$$ con soluciones: $TEX: $x=\displaystyle\dfrac{\sqrt{5}\pm3}{2}$$ Si recordamos que estas soluciones son a y b, entonces las soluciones con $TEX: $m=-\displaystyle\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ son -a y -b Y $TEX: $(-a)^3+(-b)^3=-(a^3+b^3)=-8(a+b)=8(-a-b)$$ Que también cumple con las condiciones. Por lo tanto las soluciones son $TEX: $m=0,\pm\displaystyle\dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ Corresto! -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

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