31st. OEMO - Begginer's Competition

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31st. OEMO - Begginer's Competition, 15 de Junio de 2000

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einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2016, 09:50 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	The 31st. Austrian Mathematical Olympiad OEMO 2000 - Begginer's Competition Problema 1. Sea $TEX: $a$$ un número real. Determine, para todo $TEX: $a$$ , todos los pares $TEX: $(x,y)$$ de números reales tales que $TEX: $(x-y^2)(y-x^2)+x^3+y^3=a$$ . Problema 2. Sean $TEX: $a,b$$ números reales positivos. Pruebe que $TEX: $\dfrac{(a+b)^3}{a^2b}\geq\dfrac{27}{4}$$ . ¿Cuándo ocurre la igualdad? Problema 3. Un número de dos dígitos es *agradable* si es al mismo tiempo un múltiplo del producto de sus dígitos y un múltiplo de la suma de sus dígitos. ¿Cuántos números cumplen con esta propiedad? ¿Cuál es el cociente entre el número y la suma de dígitos para cada uno de los números agradables? Problema 4. Sea $TEX: $ABCDEFG$$ la mitad de un dodecaedro regular. Sea $TEX: $P$$ la intersección de las rectas $TEX: $AB$$ y $TEX: $GF$$ , y sea $TEX: $Q$$ la intersección de las rectas $TEX: $AC$$ y $TEX: $GE$$ . Muestre que $TEX: $Q$$ es el circuncentro del triángulo $TEX: $AGP$$ . Problema 1. Pendiente de Resolución Problema 2. Resuelto por Escalera de penrose Problema 3. Pendiente de Resolución Problema 4. Pendiente de Resolución Mensaje modificado por einstenio16 el Oct 8 2016, 08:54 AM -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

Escalera de penr... Escalera de penrose Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 8 2016, 06:44 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 110 Registrado: 8-February 16 Miembro Nº: 143.585 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2 creo que está invertido el signo de la igualdad, debiera ser mayor o igual, por ejemplo a=b=1 el lado izquierdo es 8 , mayor que 27/4. Si es así entonces: $TEX: $4(a+b)^3=4(\displaystyle\dfrac{a}{2}+\displaystyle\dfrac{a}{2}+b)^3\geq4(3\sqrt[3]{\displaystyle\dfrac{a^2b}{4}})^3=\displaystyle\dfrac{4\cdot{27}a^2b}{4}=27a^2b$$ Que es equivalente a: $TEX: $\displaystyle\dfrac{(a+b)^3}{a^2b}\geq\displaystyle\dfrac{27}{4}$$ La igualdad ocurre con a=2b, pues en efecto: $TEX: $\displaystyle\dfrac{(2b+b)^3}{(2b)^2b}=\displaystyle\dfrac{27b^3}{4b^3}=\displaystyle\dfrac{27}{4}$$ Mensaje modificado por Escalera de penrose el Oct 8 2016, 05:35 PM

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 8 2016, 08:51 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Escalera de penrose @ Oct 8 2016, 06:44 AM) Problema 2 creo que está invertido el signo de la igualdad, debiera ser mayor o igual, por ejemplo a=b=1 el lado izquierdo es 8 , mayor que 27/4. Si es así entonces: $TEX: $4(a+b)^3=4(\displaystyle\dfrac{a}{2}+\displaystyle\dfrac{a}{2}+b)^3\geq4(\sqrt[3]{\displaystyle\dfrac{a^2b}{4}})^3=\displaystyle\dfrac{4\cdot{27}a^2b}{4}=27a^2b$$ Que es equivalente a: $TEX: $\displaystyle\dfrac{(a+b)^3}{a^2b}\geq\displaystyle\dfrac{27}{4}$$ La igualdad ocurre con a=2b, pues en efecto: $TEX: $\displaystyle\dfrac{(2b+b)^3}{(2b)^2b}=\displaystyle\dfrac{27b^3}{4b^3}=\displaystyle\dfrac{27}{4}$$ Si corregido el error... Está correcto... -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

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