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> LVII IMO (2016), Hong Kong
Killua
mensaje Jul 14 2016, 10:07 PM
Publicado: #1


Staff Fmat
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57ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA
Hong Kong


Primera Prueba: Lunes 11 de julio de 2016


Problema 1: El triángulo TEX: $BCF$ es rectángulo en TEX: $B$. Sea TEX: $A$ el punto de la recta TEX: $CF$ tal que TEX: $FA=FB$ y TEX: $F$ está entre TEX: $A$ y TEX: $C$. Se elige el punto TEX: $D$ de modo que TEX: $DA=DC$ y TEX: $AC$ es bisectriz del ángulo TEX: $\angle{DAB}$. Se elige el punto TEX: $E$ de modo que TEX: $EA=ED$ y TEX: $AD$ es bisectriz del ángulo TEX: $\angle{EAC}$. Sea TEX: $M$ el punto medio de TEX: $CF$. Sea TEX: $X$ el punto tal que TEX: $AMXE$ es un paralelogramo (con TEX: $AM||EX$ y TEX: $AE||MX$). Demostrar que las rectas TEX: $BD, FX$ y TEX: $ME$ son concurrentes.

Problema 2: Hallar todos los enteros positivos TEX: $n$ para los que en cada casilla de un tablero TEX: $n\times n$ se puede escribir una de las letras TEX: $I, M$ y TEX: $O$ de manera que:
  • en cada fila y en cada columna, un tercio de las casillas tiene TEX: $I$, un tercio tiene TEX: $M$ y un tercio tiene TEX: $O$; y
  • en cualquier línea diagonal compuesta por un número de casillas divisible por 3, exactamente un tercio de las casillas tienen TEX: $I$, un tercio tiene TEX: $M$ y un tercio tiene TEX: $O$.
Nota: Las filas y las columnas del tablero TEX: $n\times n$ se numeran desde 1 hasta TEX: $n$, en su orden natural. Así, cada casilla corresponde a un par de enteros positivos TEX: $(i,j)$ con TEX: $1\le i,j\le n$. Para TEX: $n>1$, el tablero tiene TEX: $4n-2$ líneas diagonales de dos tipos. Una línea diagonal del primer tipo se compone de todas las casillas TEX: $(i,j)$ para las que TEX: $i+j$ es una constante, mientras que una línea diagonal del segundo tipo se compone de todas las casillas TEX: $(i,j)$ para las que TEX: $i-j$ es una constante.

Problema 3: Sea TEX: $P=A_1A_2\ldots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices TEX: $A_1,A_2,\ldots,A_k$ tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre una circunferencia. Sea TEX: $S$ el área de TEX: $P$. Sea TEX: $n$ un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de TEX: $P$ son todos números enteros divisibles por TEX: $n$. Demostrar que TEX: $2S$ es un entero divisible por TEX: $n$.



Segunda Prueba: Martes 12 de julio de 2016


Problema 4: Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si contiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de los elementos restantes. Sea TEX: $P(n)=n^2+n+1$. Determinar el menor número entero positivo TEX: $b$ para el cual existe algún número entero no negativo TEX: $a$ tal que el conjunto

TEX: $\{P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$


es fragante.

Problema 5: En la pizarra está escrita la ecuación

TEX: $(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$<br />


que tiene 2016 factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de TEX: $k$ para el cual pueden borrarse exactamente TEX: $k$ de estos 4032 factores lineales, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

Problema 6: Se tienen TEX: $n\ge2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersecan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará TEX: $n-1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

(a) Demostrar que si TEX: $n$ es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo.
(b) Denostrar que si TEX: $n$ es par, Mafalda nunca logrará su objetivo.


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