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Continuidad, Función en 2 variables

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 8 2016, 11:42 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Considere la función $TEX: $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$$ , definida por: $TEX: $f(x,y)=\left\{\begin{matrix}<br />\dfrac{x^3-y^3}{\|x\|+y^2} & , (x,y)\neq (0,0)\\ <br />0 & , (x,y)=(0,0)<br />\end{matrix}\right.$$ Determine si la función es continua en (0,0). Primero intenté analizar el límite para los dos casos (por el valor absoluto) el cuál se intuye que es cero, dándose caminos .. pero eso no me asegura que sea cero, así que intenté mayorar, pero no me convence: $TEX: $0\leq \left \| \dfrac{x^3-y^3}{\|x\|+y^2} \right \|=\dfrac{\|x^3-y^3\|}{\|x\|+y^2}\leq\dfrac{\|x^3-y^3\|}{\|x\|}=\left \|x^2-\dfrac{y^3}{x} \right \|\leq x^2+\left \|\dfrac{y^3}{x} \right \|\leq x^2+\|y^3\|$$ Luego, $TEX: $0\leq x^2+\|y^3\| \xrightarrow[(x,y)\rightarrow (0,0)]{ } 0$$ $TEX: $\therefore \displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \left (\dfrac{x^3-y^3}{\|x\|+y^2} \right )=0$$ y la función es continua en (0,0). ¿Qué opinan del intento de mayoración que hice? jaja Cualquier aporte o sugerencia es bienvenido Saludos !

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 9 2016, 03:58 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	En el último paso de tu mayoración estás afirmando implícitamente que $TEX: $\|x\|\geq1$$ . Yo haría lo siguiente: $TEX: $\left\|\dfrac{x^{3}}{\|x\|+y^{2}}-\dfrac{y^{3}}{\|x\|+y^{2}}\right\|\leq\left\| \dfrac{x^{3}}{\|x\|+y^{2}}\right\|+\left\|\dfrac{y^{3}}{\|x\|+y^{2}}\right\|\leq \left\|\dfrac{x^{3}}{\|x\|}\right\|+\left\|\dfrac{y^{3}}{y^{2}}\right\|=x^{2}+\|y\| \rightarrow 0\\$$ , cuando $TEX: $(x,y)\rightarrow (0,0)$$ , así con eso puedes eliminar la "ensalada" que te quedaría si no los separas Saludos cordiales

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 10 2016, 04:49 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Tobal.alb @ Jun 9 2016, 03:58 AM) En el último paso de tu mayoración estás afirmando implícitamente que $TEX: $\|x\|\geq1$$ . Yo haría lo siguiente: $TEX: $\left\|\dfrac{x^{3}}{\|x\|+y^{2}}-\dfrac{y^{3}}{\|x\|+y^{2}}\right\|\leq\left\| \dfrac{x^{3}}{\|x\|+y^{2}}\right\|+\left\|\dfrac{y^{3}}{\|x\|+y^{2}}\right\|\leq \left\|\dfrac{x^{3}}{\|x\|}\right\|+\left\|\dfrac{y^{3}}{y^{2}}\right\|=x^{2}+\|y\| \rightarrow 0\\$$ , cuando $TEX: $(x,y)\rightarrow (0,0)$$ , así con eso puedes eliminar la "ensalada" que te quedaría si no los separas Saludos cordiales Por eso mismo no me convencía jsja Para lo otro, buena, no lo había visto asi, gracias

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