Necesito ayuda con un ejercicio de progresión geometrica Opciones

[ACONTR3H]

Si pk, pk+1, pk+2, pk+3 términos de una Progresión Geométrica, demuestre
que:
(pk+1 − pk+2)^2 + (pk+2 − pk)^2 + (pk+3 − pk+1)^2 = (pk − pk+3)^2

Luego de muchas horas de trabajo grupal, no pudimos resolver este ejercicio, sí nos pudieran ayudar, se agradecería mucho.

[caco29]

Si pk=x

Tienes que:

((X+1)-(x+2))^2 + ... = (x-(x+3))^2

Si desarrollas el resultado tienes que:

X - (x+3) = x -x -3 = 3 ---> que (x-(x+3))^2 = -3^2 = 9

Por otra parte si desarrollas cada uno de los parentesis del ptro lado de la igualdad tienes que

((X+1)-(x+2))^2 + ((x+2)-x)^2 +((x+3)-(x+1))^2 = (-1)^2 + (2)^2 +(2)^2= 1+4+4 =9

Lo cual es igual a la hipotesis

[caco29]

Perdon no cache que era geometrica... Agregale una letra a cada numero

Por ejemplo: pk+1, pk+2 = x+a, x+2a

[ACONTR3H]

Muchas gracias.

[jorgillo81]

Hola,

Formateando un poco el texto, supongo que te piden demostrar lo siguiente:

(p_k+1 − p_k+2)² + (p_k+2 − p_k)² + (p_k+3 − p_k+1)² = (p_k − p_k+3)² [1]

En una progresión geométrica, cada término de la progresión se obtiene del término anterior multiplicado por una constante llamada razón. Si los términos p_k, p_k+1 y p_k+2 están en progresión geométrica, cuya razón la suponemos como r, podremos escribir:

p_k=p_k
p_k+1=r*p_k
p_k+2=r²*p_k
p_k+3=r³*p_k

Reemplazando en la expresión (1), se demuestra fácilmente la identidad:

(p_k+1 − p_k+2)² + (p_k+2 − p_k)² + (p_k+3 − p_k+1)² = (p_k − p_k+3)²

(r*p_k − r²*p_k)² + (r²*p_k − p_k)² + (r³*p_k − r*p_k)² = (p_k − r³*p_k)²

Simplificamos por p_k²

(r − r²)² + (r² − 1)² + (r³ − r)² = (1 − r³)²

Y si sigues simplificando llegarás a la identidad

0=0

Con lo que se demuestra lo pedido (ya que todas las simplificaciones son reversibles).

Saludos.