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El circuncentro de CEF

PiZZa hinOjO Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2016, 09:36 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 9-October 15 Miembro Nº: 141.147	Dado un paralelogramo ABCD y los puntos E y F sobre las rectas DC y BC tales que AE y AF son perpendiculares a BC y DC, respectivamente. Pruebe que el circuncentro de EFC esta a igual distancia de B y D.

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2016, 08:58 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea $O$ el circuncentro de $\triangle{CEF}$, es claro que $\angle{FEC}=\angle{OFE}+\angle{OCE}$, además $\angle{OCF}+\angle{OEC}+\angle{OEF}=90^{o}$, y como $\angle{AEC}=90^{o}$, se sigue que $\angle{AEF}=\angle{OCF}$, por esto último y como $AECF$ es cíclico se concluye que $A$, $O$ y $C$ son colineales. Ahora pa concluir pulento, notemos que $AO=OC$, dado que $AC$ es diámetro de la circunferencia que pasa por $AECF$ (cíclico), que es la misma que pasa por $\triangle{EFC}$, luego como $O$ es el centro, se tiene. De esto notamos que $BD$ es diagonal del paralelógramo y estamos listos $\blacksquare$$ --------------------

PiZZa hinOjO Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2016, 09:45 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 9-October 15 Miembro Nº: 141.147	Me parece, me parece que no interpretaste bien el enunciado.

PiZZa hinOjO Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2016, 03:42 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 11 Registrado: 9-October 15 Miembro Nº: 141.147	asi es Archivo(s) Adjunto(s) grrtyu.gif ( 4.79k ) Número de descargas: 5

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 4 2021, 11:25 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Ahora si: $TEX: Lema: Sea $\triangle{ABC}$, $H$ su ortocentro, $O$ el circuncentro y $M$ el punto medio de $BC$. Entonces se tiene que $AH=2\cdot OM$.\\<br />\indent dem. Sea $N$ el punto medio de $AC$, luego es claro que $MN\parallel AB$ y además $AB = 2\cdot MN$. Por otro lado, dado que $AH\parallel OM$ se sigue que $\triangle{OMN}\sim\triangle{HAB}$ así se concluye que $AH=2\cdot OM$.\\<br /><br />Ahora vamos con el problema, es claro que $A$ es el ortocentro de $\triangle{CEF}$, sea $P$ la intersección de $AC$ con $BD$ y $O$ el circuncentro de $\triangle{CEF}$, es suficiente ver que $OP$ es perpendicular a $BD$. Notemos que $\angle{AFE} = \angle{ACE}$ y $\angle{ACF}=\angle{AEF}$ y por paralelismo $\angle{ACF} = \angle{BAC}$, de acá tenemos que $\triangle{CBA}\sim\triangle{FAE}$, luego si $M$ es el punto medio $EF$ entonces $\angle{BPA} = \angle{AME}$. Gracias al lema, podemos concluir que $OM=AP$, luego como $AP\parallel OM$ sigue que $OP\parallel AM$ y por tanto $\angle{OPA}=\angle{MAC'}$ donde $C'$ es el pie de la altura desde $C$ en $EF$, luego $$\angle{OPB} = \angle{OPA}+\angle{APB} = \angle{AME}+\angle{MAC'} = 90^\circ$$ pues $AC'\perp EF$. De acá sigue que $OP\perp BD$ y por tanto $OB=OD$.$ --------------------

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