Selectivo Ibero-Imo 2016, Selección equipo Chileno Opciones

[alonc]

Prueba de selección Equipo chilenos IMO Ibero 2016
20 de Abril de 2016

Problema 1. Se tiene un triángulo equilatero de lado 20 subdividido mediante paralelas a los lados en triángulitos equiláteros de lado 1. Se debe colorear de rojo algunos segmentos de longitud 1 que sean lados de los triángulitos, de manera que ningún triángulito resulte con sus tres lados rojos. Determinar la máxima cantidad de segmentas de longitud 2 que se pueden colorear de rojo.

Problema 2. Hay 2016 puntos cerca de una recta de modo que la distancia entre cada punto y la recta es menor que 1 cm y la distancia entre dos puntos cualesquiera es siempre mayor que 2 cm. Demostrar que existen dos puntos cuya distancia es por lo menos 17 metros.

Problema 3. Decimos que un conjunto A de enteros es admisible si tiene la siguiente propiedad:

Si entonces para todo

Determine todos los pares , de enteros no nulos tal que el único conjunto admisible conteniendo a y simultáneamente es el conjunto de todos los enteros.

Problema 4. Sean y dos polinomios no nulos con coeficientes enteros con . Suponga que para infinitos primos el polinomio tiene una raíz racional. Pruebe que tiene una raíz racional. Aclaración: Una raiz racional de un polinomio es un número tal que

Tiempo: 150 minutos.

Mensaje modificado por alonc el Apr 24 2016, 06:19 PM

[bbbbb]

Hola, ¿alguien conoce la solución al problema 4?
Saludos

[vocin]

Me suena que es un problema de Shorlist, de esos años. No estoy seguro eso sí

[bbbbb]

Gracias, ya lo encontré
2012 IMO Shortlist A4