Selectivo Ibero-Imo 2016

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Selectivo Ibero-Imo 2016, Selección equipo Chileno

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alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 24 2016, 02:36 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Prueba de selección Equipo chilenos IMO Ibero 2016 20 de Abril de 2016 Problema 1. Se tiene un triángulo equilatero de lado 20 subdividido mediante paralelas a los lados en $TEX: $20^2=400$$ triángulitos equiláteros de lado 1. Se debe colorear de rojo algunos segmentos de longitud 1 que sean lados de los triángulitos, de manera que ningún triángulito resulte con sus tres lados rojos. Determinar la máxima cantidad de segmentas de longitud 2 que se pueden colorear de rojo. Problema 2. Hay 2016 puntos cerca de una recta de modo que la distancia entre cada punto y la recta es menor que 1 cm y la distancia entre dos puntos cualesquiera es siempre mayor que 2 cm. Demostrar que existen dos puntos cuya distancia es por lo menos 17 metros. Problema 3. Decimos que un conjunto A de enteros es admisible si tiene la siguiente propiedad: Si $TEX: $x, y \in \mathcal{A}$$ entonces $TEX: $x^{2} + kxy + y^{2} \in \mathcal{A} $$ para todo $TEX: $k \in \mathbb{Z}$$ Determine todos los pares $TEX: $m$$ , $TEX: $n$$ de enteros no nulos tal que el único conjunto admisible conteniendo a $TEX: $m$$ y $TEX: $n$$ simultáneamente es el conjunto de todos los enteros. Problema 4. Sean $TEX: $f$$ y $TEX: $g$$ dos polinomios no nulos con coeficientes enteros con $TEX: $grado(f)>grado(g)$$ . Suponga que para infinitos primos $TEX: $p$$ el polinomio $TEX: $pf + g$$ tiene una raíz racional. Pruebe que $TEX: $f$$ tiene una raíz racional. Aclaración: Una raiz racional de un polinomio $TEX: $f$$ es un número $TEX: $q \in \mathbb{Q}$$ tal que $TEX: $f(q)=0$$ Tiempo: 150 minutos. Mensaje modificado por alonc el Apr 24 2016, 06:19 PM

bbbbb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 5 2019, 03:27 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4 Registrado: 15-October 17 Miembro Nº: 154.233	Hola, ¿alguien conoce la solución al problema 4? Saludos

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 7 2019, 07:22 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Me suena que es un problema de Shorlist, de esos años. No estoy seguro eso sí -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

bbbbb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 8 2019, 05:20 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4 Registrado: 15-October 17 Miembro Nº: 154.233	Gracias, ya lo encontré 2012 IMO Shortlist A4

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