Duda con Supremo Opciones

[Lobosaurio]

Tengo dudas con este ejemplo:

A = (−∞, 5). Este intervalo es acotado superiormente, una cota superior es 5, y el conjunto de las cotas superiores es [5, ∞). No hay cotas superiores m < 5, ya que siempre existe ε > 0 tal que m + ε ∈ A y m < m + ε.

¿Cuál es el argumento que valida la afirmación "siempre existe ε > 0 tal que m + ε ∈ A"?

Si el conjunto es : A= {x / x ∈ N y 1 < x < 5} , la afirmación anterior no sería válida ya que si tomamos m = 4,9; no existe ε > 0 tal que 4,9 + ε ∈ A.

Gracias.

Mensaje modificado por Lobosaurio el Apr 17 2016, 11:10 AM

[Lichiel]

¿Cuál es el argumento que valida la afirmación "siempre existe ε > 0 tal que m + ε ∈ A"?
El conjunto A = (−∞, 5)=A= {x / x ∈ R y x < 5}, es no vacío y acotado superiormente. entonces, existe una menor cota superior (Ax. del supremo).
¿Cual es ?, 5 parece un buen candidato a cota superior ¿por qué?, pues si no fuera la menor cota superior entonces
existe una cota superior más grande. digamos 5+ε , ε>0. observe que por ejemplo si tomo un numero real más pequeño 5+ε/2<5+ε.
Por lo tanto 5+ε/2 ∈ A, pero entonces 5+∈/2 < 5 ----> ∈/2 <0 pero esto es absurdo por lo tanto 5 debe ser la menor cota superior.
Como es 5 es la menor cota superior 5-∈ no es cota superior esto quiere decir que hay un m ∈ A con 5-∈<m
osea 5<m+∈
Entonces qué pasa con el conjunto A= {x / x ∈ N y 1 < x < 5}. lo que pasa es que para este conjunto 5 no es un buen candidato a menor cota superior pues 4 es una cota superior note que A = {x / x ∈ N y 2 =< x =< 4}, pues son números naturales, entre 1 y 5.

Mensaje modificado por Lichiel el Apr 17 2016, 12:38 PM

[SuKeVinBellaKo]

Si el conjunto es : A= {x / x ∈ N y 1 < x < 5} , la afirmación anterior no sería válida ya que si tomamos m = 4,9; no existe ε > 0 tal que 4,9 + ε ∈ A.

Gracias.

eh bien diztinto travajar kon un interbalo k kon un suvkonjunto de naturales kompadre