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XLVI IMO (2005), Mérida, México

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2013, 04:22 PM Publicado: #11
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución Problema 5: Vamos a demostrar que ese punto es la intersección de los circumcirculos de los triángulos ADX y BCX, llamemosle T, entonces basta demostrar que el cuadrilátero XYTZ es cíclico. Como los cuadrilateros ADXT y BCXT son cíclicos tenemos que <DAT=<TXB=<TCB y <CBT=<TXA=<TDA, por consiguiente por el criterio A.L.A. de congruencia los triángulos DAT y BCT son congruentes, obteniendo que AT=CT y DT=BT, pero también <DBT=<BDT=<CAT=<ACT. Ahora notemos que la congruencia significa una rotación de los triángulos DAT y BCT, y como BE=DF implica la rotación de los triángulos TBE y TDF, es decir TE=TF, y por esa misma rotación obtenemos que <ETF=<DTB=<ATC lo que nos entrega que <EFT=<DBT, entonces el cuadrilátero EBTZ es cíclico, ergo <CBT=<YZT=<AXT, concluyendo finalmente que el cuadrilátero XYTZ es cíclico, obteniendo que los circumcirculos de los triángulos XYZ al variar E y F tienen un punto en común, el cual es T, demostrando lo pedido $TEX: $\displaystyle \blacksquare$$ Saludos !!! Mensaje modificado por Seba² el Jul 7 2013, 05:49 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 27 2014, 09:29 PM Publicado: #12
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Pal 1 Nota: En mi solución cambié los puntos D, E, M, N, P, Q por A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ porque así salía en el enunciado del compendium (ahí lo leí). Sea $TEX: $\overline{B_2C_2}\cap \overline{B_1C_1}=P$$ , $TEX: $\overline{A_1C_1}\cap \overline{A_2C_2}=Q$$ , $TEX: $\overline{A_1B_1}\cap \overline{A_2B_2}=R$$ y sea $TEX: $\angle C_1C_2B_2=\angle C_1B_2C_2=\alpha$$ , $TEX: $\angle B_2C_1B_1=\angle B_2B_1C_1=\beta$$ , $TEX: $\angle B_1B_2A_2=\angle B_1A_2B_2=\gamma$$ , $TEX: $\angle A_1B_1A_2=\angle A_2A_1B_1=\delta$$ , $TEX: $\angle C_2A_2A_1=\angle A_2C_2A_1=\theta$$ , $TEX: $\angle C_2A_1C_1=\angle A_1C_1C_2=\omega$$ de eso es fácil concluir que $TEX: $\alpha+\beta=\gamma+\delta=\theta+\omega=\angle B_2PB_1=\angle A_1RA_2=\angle C_2QC_1=60º$$ y como $TEX: $\triangle ABC$$ es equilátero tenemos que $TEX: $AC_1PB_2$$ , $TEX: $BC_2QA_1$$ y $TEX: $CA_2RB_1$$ son cuadriláteros cíclicos. De esto tenemos que $TEX: $\angle PAC_2=\angle C_1B_2C_2=\angle C_1C_2B_2=\alpha$$ y $TEX: $\angle B_2C_1B_1=\angle B_2B_1C_1=\angle PAB_1=\beta$$ de donde concluimos que $TEX: $PC_2=PA=PB_1$$ , analogamente se puede concluir que R y Q son los circuncentros de los triángulos $TEX: $B_2CA_1$$ y $TEX: $C_1BA_2$$ , de eso tenemos que los triángulos $TEX: $C_2PB_1$$ , $TEX: $A_1RB_2$$ y $TEX: $A_2QC_1$$ son isósceles, de eso tenemos que $TEX: $\angle A_2C_1A_1=\angle C_1A_2C_2=\angle B_2C_2B_1=\angle C_1B_1C_2=\angle A_1B_2A_2=\angle B_1A_1B_2=30º$$ de esto tenemos que los cuadriláteros $TEX: $C_1A_1A_2B_2$$ , $TEX: $B_2C_2A_1B_1$$ y $TEX: $C_1C_2A_2B_1$$ son cíclicos, luego podemos concluir de la siguiente forma. Sean $TEX: $\Omega_1$$ , $TEX: $\Omega_2$$ y $TEX: $\Omega_3$$ las circunferencias que circunscriben a esos 3 cuadriláteros respectivamente, de esto $TEX: $B_2A_1$$ es eje radical de $TEX: $\Omega_1$$ y $TEX: $\Omega_2$$ , $TEX: $C_1A_2$$ es eje radical de $TEX: $\Omega_1$$ y $TEX: $\Omega_3$$ y $TEX: $C_2B_1$$ es eje radical de $TEX: $\Omega_2$$ y $TEX: $\Omega_3$$ , luego dichas rectas se cortan en el centro radical, con eso estamos listos $TEX: $\blacksquare$$ PD1: asdayuyi está entera buena PD2: católica PD3: I'm back PD4: no pude subir imagen del problema, espero se entienda PD5: me despido de fmat, esta cuenta no se abre más (la otra tampoco), la gente que me apoyó y lo sigue haciendo y que los conocí a través del foro, gracias, ellos saben quienes son. adioss -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

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