XLVI IMO (2005), Mérida, México Opciones

[Seba²]

Solución Problema 5:

Vamos a demostrar que ese punto es la intersección de los circumcirculos de los triángulos ADX y BCX, llamemosle T, entonces basta demostrar que el cuadrilátero XYTZ es cíclico. Como los cuadrilateros ADXT y BCXT son cíclicos tenemos que <DAT=<TXB=<TCB y <CBT=<TXA=<TDA, por consiguiente por el criterio A.L.A. de congruencia los triángulos DAT y BCT son congruentes, obteniendo que AT=CT y DT=BT, pero también <DBT=<BDT=<CAT=<ACT. Ahora notemos que la congruencia significa una rotación de los triángulos DAT y BCT, y como BE=DF implica la rotación de los triángulos TBE y TDF, es decir TE=TF, y por esa misma rotación obtenemos que <ETF=<DTB=<ATC lo que nos entrega que <EFT=<DBT, entonces el cuadrilátero EBTZ es cíclico, ergo <CBT=<YZT=<AXT, concluyendo finalmente que el cuadrilátero XYTZ es cíclico, obteniendo que los circumcirculos de los triángulos XYZ al variar E y F tienen un punto en común, el cual es T, demostrando lo pedido

Saludos !!!

Mensaje modificado por Seba² el Jul 7 2013, 05:49 PM

[MatíasMoreno]

Pal 1

Nota: En mi solución cambié los puntos D, E, M, N, P, Q por A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ porque así salía en el enunciado del compendium (ahí lo leí).

Sea , , y sea , , , , , de eso es fácil concluir que y como es equilátero tenemos que , y son cuadriláteros cíclicos. De esto tenemos que y de donde concluimos que , analogamente se puede concluir que R y Q son los circuncentros de los triángulos y , de eso tenemos que los triángulos , y son isósceles, de eso tenemos que de esto tenemos que los cuadriláteros , y son cíclicos, luego podemos concluir de la siguiente forma. Sean , y las circunferencias que circunscriben a esos 3 cuadriláteros respectivamente, de esto es eje radical de y , es eje radical de y y es eje radical de y , luego dichas rectas se cortan en el centro radical, con eso estamos listos


PD1: asdayuyi está entera buena
PD2: católica
PD3: I'm back
PD4: no pude subir imagen del problema, espero se entienda
PD5: me despido de fmat, esta cuenta no se abre más (la otra tampoco), la gente que me apoyó y lo sigue haciendo y que los conocí a través del foro, gracias, ellos saben quienes son.

adioss