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XLVI IMO (2005), Mérida, México

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2007, 07:38 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	46ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA Mérida, México, 2005 Primera Prueba: Miércoles 13 de julio de 2005 Problema 1: Se eligen seis puntos en los lados de un triángulo equilátero $TEX: $ABC$$ : $TEX: $D$$ y $TEX: $E$$ en $TEX: $BC$$ , $TEX: $M$$ y $TEX: $N$$ en $TEX: $CA$$ , $TEX: $P$$ y $TEX: $Q$$ en $TEX: $AB$$ . Estos puntos son los vértices de un hexágono convexo $TEX: $DEMNPQ$$ cuyos lados son todos iguales. Demuestre que las rectas $TEX: $DN$$ , $TEX: $MQ$$ y $TEX: $PE$$ son concurrentes. Problema 2: Sea $TEX: $x_1,x_2, \ldots$$ una sucesión de enteros que tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Supongamos que para cada entero positivo $TEX: $n$$ , los números $TEX: $x_1, x_2, \ldots,x_n$$ tienen $TEX: $n$$ restos distintos al ser divididos entre $TEX: $n$$ . Demuestre que cada entero se encuentra exactamente una vez en la sucesión. Problema 3: Sean $TEX: $a, b, c$$ números reales positivos tales que $TEX: $abc\ge 1$$ . Demuestre que $TEX: \noindent $\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\dfrac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}\ge 0$$ Segunda Prueba: Jueves 14 de julio de 2005 Problema 4: Consideremos la sucesión infinita $TEX: $x_1, x_2, \ldots$$ definida por $TEX: $x_n=2^n+3^n+6^n-1\ $ $\ \left(n\in\mathbb{Z}^+\right)$$ Determine todos los enteros positivos que son primos relativos (coprimos) con todos los términos de la sucesión. Problema 5: Sea $TEX: $ABCD$$ un cuadrilátero convexo que tiene los lados $TEX: $BC$$ y $TEX: $AD$$ iguales y no paralelos. Sean $TEX: $E$$ y $TEX: $F$$ puntos en los lados $TEX: $BC$$ y $TEX: $AD$$ , respectivamente, que son distintos de los vértices y satisfacen $TEX: $BE=DF$$ . Las rectas $TEX: $AC$$ y $TEX: $BD$$ se cortan en $TEX: $X$$ , las rectas $TEX: $BD$$ y $TEX: $EF$$ se cortan en $TEX: $Y$$ , las rectas $TEX: $EF$$ y $TEX: $AC$$ se cortan en $TEX: $Z$$ . Consideremos todos los triángulos $TEX: $XYZ$$ que se forman cuando $TEX: $E$$ y $TEX: $F$$ varían. Pruebe que las circunferencias circunscritas a esos triángulos tienen en común otro punto además de $TEX: $X$$ Problema 6: En una competencia de matemáticas se propusieron $TEX: $6$$ problemas a los estudiantes. Cada par de problemas fue resuelto por más de $TEX: $\dfrac{2}{5}$$ de los estudiantes. Nadie resolvió los $TEX: $6$$ problemas. Demuestre que hay al menos $TEX: $2$$ estudiantes tales que cada uno tiene exactamente $TEX: $5$$ problemas resueltos. Resumen de soluciones Problema 1: Pendiente de solución Problema 2: Pendiente de solución Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Pendiente de solución. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Pendiente de solución. -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2007, 02:17 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Nose si el enunciado del problema esta malo pero $TEX: $x_n=2^n+3^n+6^n-1\ $$ $TEX: $\ \left(n\in\mathbb{Z}^+\right)$$ es siempre par, osea ningun termino sera coprimo con otro. -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2007, 07:39 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(iMPuRe @ Jun 14 2007, 03:17 PM) Nose si el enunciado del problema esta malo pero $TEX: $x_n=2^n+3^n+6^n-1\ $$ $TEX: $\ \left(n\in\mathbb{Z}^+\right)$$ es siempre par, osea ningun termino sera coprimo con otro. El enunciado está perfecto, pero creo que lo entendiste mal. Dice encontrar todos los enteros positivos que sean coprimos con todos los términos de la sucesión, no encontrar términos coprimos en la sucesión misma. Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2007, 10:41 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Killua @ Jun 14 2007, 08:39 PM) El enunciado está perfecto, pero creo que lo entendiste mal. Dice encontrar todos los enteros positivos que sean coprimos con todos los términos de la sucesión, no encontrar términos coprimos en la sucesión misma. Saludos. Pero si en la sucesion son todos pares... -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 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9967 9973 10007

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2007, 11:01 PM Publicado: #5
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(iMPuRe @ Jun 14 2007, 11:41 PM) Pero si en la sucesion son todos pares... Y dale... para que te convenzas aquí está el link de esta IMO Aquí con los enunciados originales. Saludos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

sebagarage Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2007, 11:32 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 817 Registrado: 28-May 06 Desde: maipú, santiago. Miembro Nº: 1.210 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(iMPuRe @ Jun 14 2007, 10:41 PM) Pero si en la sucesion son todos pares... Suponte que todos los términos de la sucesión fueran potencias de 2, entonces cualquier entero positivo impar sería coprimo con todos estos términos, y cualquiera que fuese par no. A eso se refiere la pregunta. Saludos. -------------------- Estudiante de 5º año de Ingeniería Civil Industrial en la U. de Chile

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 22 2007, 09:39 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El P3 tiene una bonita solución Aquí

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2008, 12:06 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\boxed{\mathcal{P}_2} \ $. Sea $A_n=\{a_1,a_2,...,a_n\}$, vamos a probar que en $A_n$ no hay dos $a_i$ iguales.$ $TEX: Por el enunciado se sabe que $a_i \in A_n \equiv 0,1,...,n-1 (mod. n)$, considere $a_i, a_j \in A_n$, tal que $a_i=a_j $, con $i\not=j \implies a_i\equiv r (mod.n)$ y $a_j\equiv r (mod.n) \rightarrow \leftarrow$ (puesto que por el enunciado cada $a_i \in A_n$ posee un resto distinto en la división por $n$), la única manera de que $a_i=a_j$, es cuando $i=j \rightarrow \leftarrow$. Con esto queda probado que $a_i\not=a_j \forall a_i, a_j \in A_n$.$ $TEX: Nos queda analizar el caso para el cual $a_i \in A_n$ y $a_j \not \in A_n$. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que $a_1 \le a_2 \le ...$.$ $TEX: Como establecimos tenemos la secuencia $a_1 \le a_2 \le ... \le a_i \le... \le a_n \le ... \le a_j \le...$. Como $a_i=a_j \implies a_1 \le a_2 \le ... \le a_i =... = a_n = ... = a_j \le...$. Ahora bien tenemos por el enunciado, considere $A_j$, puesto que la propiedad es para todo entero positivo y $j \in \mathbb{N} \implies$ cada $a_k \in A_j$ posee un resto distinto en la división por $j$ y como $a_i \equiv... \equiv a_n \equiv ... \equiv a_j (mod.j) \rightarrow \leftarrow$.$ $TEX: Se ha probado entonces que la sucesión es de la forma $a_1<a_2<...$, por tanto cualesquiera dos de ellos no pueden ser iguales.$ Espero que esté bien. Saludoss -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2008, 06:46 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Lo primero que me pareció extraño, es que cambiaras los x_i por a_i, pero esto lo podemos "pasar por alto". Lo único que estás estableciendo en esta solución, es que la sucesión x₁,x₂,... no repite términos, y para eso basta con el segundo párrafo (al cual puedes arreglar un poco la redacción). Sin embargo, también debes demostrar que todo número entero aparece en la sucesión, y eso no lo has hecho. Además, no usas la hipótesis que la sucesión tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2011, 10:50 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 4: Es posible probar usando el teorema de euler, que n\|x_{euler(n)-1}, para todo n coprimo con 6, y tambien x_2 es 48, y 6\|48, luego el unico entero coprimo con todos los terminos de la sucecion es 1, puesto que los numeros coprimos con 6 dividen a x_{euler(n)-1} y los no coprimos con 6 tampoco son coprimos con 48=x_2. -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

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