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Problemas prueba admisiòn

Infinitos Monos Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2016, 12:49 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 11-December 15 Miembro Nº: 142.940 Sexo:	Hola, Dejo algunos ejercicios de una prueba de admision a Lic. en Mate. (Los traduje yo re penca) 1) $TEX: Una pieza tiene cuatro paredes, el piso y el techo. Una mosca se mueve entre estas $6$ superfcies. Si deja el piso o el techo puede ir a parar a cada una de las cuatro paredes o volver a la superficie de la que partiò con igual probabilidad ($0.2$). Si deja una de las paredes, puede ir a parar a una de las otras $3$ paredes, al piso, o al techo, con igual probabilidad ($0.2$). Si inicialmente la mosca esta en el techo, cual es la probabilidad de que este en el piso despues de $k$ movimientos?$ Indicaciòn que aparecia en la prueba: $TEX: Las soluciones de una ecuacion recursiva de la forma $y_{k+1}=ay_{k}+bq^{k}+c$ con a distinto de $1$ y q distinto de a vienen dadas por $y_{k}=d_{1}a^{k}+d_{2}q^{k}+d_{3}$ para oportunas constantes $d_{1}$ $d_{2}$ $d_{3}$.$ 2) $TEX: Una hormiga se mueve por un plano cuadriculado (como los cuadernos). Puesto un eje de cordenadas que coincida con las lineas, la hormiga se empieza a mover desde ($0$,$0$) siempre en el sentido positivo de los ejes (osea hacia a la derecha o hacia arriba) moviendose el equivalente de el lado de un cuadrado cada vez. La hormiga se mueve con igual probabilidad hacia arriba que hacia la derecha. Si parte del origen y llega al punto $(m,n)$ con $m,n> 0$ cual es la probabilidad de que haya pasado por el punto $(i,j)$? Para cuales de los $(i,j)$ del rectàngulo de vértices $(0,0)$ $(m,0)$ $(0,n)$ $(m,n)$ la probabilidad es minima?$ 3) $TEX: Para cuantos valores de $x$ reales $0 \leq x \leq \pi$ se tiene:$ $TEX: $\log_{4}\left \| \sin 4x \right \| + \left \| \log_{2}\sqrt{\left \| \cos x \right \|} \right \|=0$$ 4) $TEX: Considere la expresiòn:$ $TEX: $A=4^{x}+4^{y}+4^{z}$ , $x,y,z \geq 0$$ $TEX: i) Demuestre que A es un cuadrado perfecto para infinitas ternas $(x,y,z)$. ii) Determinar todas las ternas de enteros no negativos para las cuales $A$ es cuadrado perfecto.$ 5) $TEX: Una particiòn de un nùmero entero $n>0$ es una descomposiciòn de $n$ en sumandos enteros positivos. Ej. $3=2+1=1+1+1$ son todas las particiones del numero $3$. Demuestre que el nùmero de particiones de un entero $n$ en a lo màs $r$ partes es igual al nùmero de sus particiones que tienen sumandos todos menores o iguales a $r$$ Mensaje modificado por Infinitos Monos el Apr 14 2016, 12:04 PM

Pablo2 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2016, 11:50 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 167 Registrado: 4-April 10 Miembro Nº: 67.759 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Oye, qué entrete. De dónde es la prueba? Obs: El P2 fue gran parte de la estructura de un ramo que cursé el año pasado, "Paseos al azar".

Infinitos Monos Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 3 2016, 10:42 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 11-December 15 Miembro Nº: 142.940 Sexo:	CITA(Pablo2 @ Mar 2 2016, 11:50 PM) Oye, qué entrete. De dónde es la prueba? Obs: El P2 fue gran parte de la estructura de un ramo que cursé el año pasado, "Paseos al azar". De la normal de pisa. Igual estos no son todos del mismo año, la prueba consiste en 6 problemas.

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 3 2016, 07:09 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	se ve larga la prueba, cuando tnga tiempo me motivare cn el 3

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 8 2016, 10:43 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	creo que para el problema 4 las soluciones son de la forma (x,y,z)=((2a-b-1,a,b),(a+1,a+1,a)) cuando tenga 100% lista mi solucion la posteo slds

Fran.tgx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 13 2020, 11:28 PM Publicado: #6
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 26 Registrado: 27-February 18 Miembro Nº: 155.850 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Infinitos Monos @ Mar 2 2016, 01:49 PM) $TEX: Para cuantos valores de $x$ reales $0 \leq x \leq \pi$ se tiene:$ $TEX: $\log_{4}\left \| \sin 4x \right \| + \left \| \log_{2}\sqrt{\left \| \cos x \right \|} \right \|=0$$ $TEX: <br /><br />Como primera cosa $\|\sin4x\| \neq 0$ y $\sqrt{\left \| \cos x \right \|} \neq 0$. Por lo tanto $x$ es diferente de $0$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3 \pi}{4}$ y de $\pi$. <br /><br />Ahora sabemos que $\|\cos x\|<1$ y por lo tanto $ \sqrt{ \| \cos x \|} < 1 $ y asi $\dfrac{1}{2} \cdot \log_{2} \|\cos x \| =\log_{2}\sqrt{\left \| \cos x \right \|} < 0$, además $ \log_{4} \| \sin 4x \| =\dfrac{\log_{2}\| \sin 4x \|}{\log_{2} 4} $ donde llegamos a que $$ \log_{2} \|\sin4x\|= \log_{2} \|\cos x\|$$<br /> Como $\log_{2} x $ es inyectiva entonces $\|\sin 4x\|=\|\cos x\|$<br /><br />\vspace{0,2cm}<br /><br />\textbf{Caso 1}: $\sin 4x$ y $\cos x$ tienen el mismo signo (Así $ x \in (0, \dfrac{\pi}{4})$ o $ x \in ( \dfrac{3 \pi}{4}, \pi))$.<br /><br />$ $TEX: <br /><br />Aquí tendriamos $\sin 4x= \cos x= 4 { \cos }^3 x \cdot \sin x - 4 \cos x \cdot {\sin}^3 x$ (suma ángulo de $\sin$ ).<br />Como $\cos x \neq 0$ entonces $ 1=4 { \cos }^2 x \cdot \sin x - 4 { \sin }^3 x=4(1-{ \sin }^2x) \cdot \sin x- 4 {\sin}^3 x $, por comodidad sea $u=\sin x$ y llegamos a $8u^3 -4u+1=0=8(u-\dfrac{1}{2})(u- \dfrac{\sqrt{5}-1}{4})(u + \dfrac{\sqrt{5}+1}{4})$, es decir $\sin x =\dfrac{1}{2}$ así $x_0=\dfrac{\pi}{6} $ y $x_1= \dfrac{5 \pi}{6}$ satisfacen lo anterior (Además $x $ pertenece al intervalo que debiese). Si $\sin x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ existen $x_3 \in (0, \dfrac{\pi}{4})$ y $x_4 \in ( \dfrac{3 \pi}{4}, \pi))$ que satisfacen lo anterior. En efecto, sabemos que la función $\sin x$ es continua y estrictamente creciente en el intervalo $[0, \dfrac{\pi}{4}]$, por lo tanto $0= \sin 0< \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}<\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ y por el teorema del valor intermedio existe un $x_3 \in [0, \dfrac{\pi}{4}] $ tal que $\sin x_3=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} $ (notar que $x_3$ es diferente de $ \dfrac{\pi}{6}$, $0$ y de $ \dfrac{\pi}{4}$, también es único porque la funcion $\sin x$ es estrictamente creciente en el intervalo $[0, \dfrac{\pi}{4}]$). Análogamente, existe el esperado $x_4$ tal que $x_4 \in (\pi, \dfrac{3 \pi}{4})$. Ahora si $\sin x = - \dfrac{\sqrt{5}+1}{4}<0$ no hay solución para $x \in (0, \dfrac{\pi}{4})$ o $ x \in ( \dfrac{3 \pi}{4}, \pi)$ pues en ambos casos $ \sin x > 0$. En conclusión, en este primer caso hay 4 soluciones.$ $TEX: <br />\textbf{Caso 2}: $\sin 4x$ y $\cos x$ tienen diferente signo, o sea , $x \in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} )$ o $x \in (\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4})$.$ $TEX: <br />Aqui $- \cos x = \sin 4x = 4 { \cos }^3 x \cdot \sin x - 4 \cos x \cdot {\sin}^3 x$, hagamos el mismo cambio de variable, es decir, sea $u= \sin x $, es decir $8u^3-4u-1=0=(u+\dfrac{1}{2})(u-\dfrac{1-\sqrt{5}}{4})(u-\dfrac{\sqrt{5}+1}{4})$ en el caso de que $\sin x =-\dfrac{1}{2}$ o $\sin x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$ no nos sirve pues ambos en ambos casos $\sin x <0$ , y a nosotros nos interesa cuando $ x \in (\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} )$ o $x \in (\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4})$(o sea cuando $ \sin x>0$). Ahora si $\sin x =\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$ podemos utilizar la misma técnica del \textbf{Caso 1} y obtenemos que existen dos soluciones diferentes a las anteriores en los intervalos $(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} )$ y $(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4})$ una solución en cada intervalo.<br /><br /><br />$ $TEX: <br /><br />Finalmente la ecuación $\log_{4}\left \| \sin 4x \right \| + \left \| \log_{2}\sqrt{\left \| \cos x \right \|} \right \|=0$ tiene 6 soluciones diferentes para $x$ tal que $ 0 \leq x \leq \pi $.<br />$ Si alguien se da el tiempo de leer esto, ¿Es necesario comprobar la respuesta para obtener un buen puntaje en una eventual prueba?. Mensaje modificado por Fran.tgx el Jun 14 2020, 11:29 PM

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