Nivel 2, Individual Opciones

[juancodmw]

XII Campeonato Escolar de Matemáticas
Segundo Nivel

Primera prueba: Sábado 26 de Abril, 2014

Problema 1: Sea un cuadrado perfecto de 4 cifras menores que 9. Sumando 1 a cada una de las cifras de se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar .

Problema 2: Dado un triángulo , sea un punto variable en el lado . Pruebe que el circuncentro del triángulo está en una recta fija.

[Escalera de penr...]

Para el problema 1:

Sea α la raiz de M y β la raiz de M+1111.
α^2=m
β^2=m+1111

Entonces:
1111=β^2 - α^2
1111=(β-α)(β+α)

Buscando los factores de 1111 se llega a que solo están 11 y 101, ambos primos.
β-α=11
β+a=101

Resolviendo el sistema se llega a:
β=56
α=45

Comprobando:
45^2=2025
56^2=3136

Por lo tanto M=2025

(perdon por la redaccion, si es que hay algo mal detallado)

[vocin]

A mi gusto falta justificar un par de detalles obvios. Porqué b-a=11/b+a=101 y no al revés? O porqué no b-a=1/b+a=1111? Es bastante evidente, pero agregaría eso para una justificación inpecable