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> Desigualdad, Triángulo
juancodmw
mensaje Jan 20 2016, 10:37 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: Sean $\alpha,\beta,\gamma$ los respectivos ángulos opuestos a los lados $a,b,c$ de un triángulo cualquiera. Pruebe que<br />\begin{center}<br />$a\left(\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\right)+b\left(\dfrac{1}{\gamma}+\dfrac{1}{\alpha}\right)+c\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{\alpha}+\dfrac{b}{\beta}+\dfrac{c}{\gamma}\right)$<br />\end{center}


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pprimo
mensaje Jul 28 2017, 09:29 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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CITA(juancodmw @ Jan 20 2016, 10:37 PM) *
TEX: Sean $\alpha,\beta,\gamma$ los respectivos ángulos opuestos a los lados $a,b,c$ de un triángulo cualquiera. Pruebe que<br />\begin{center}<br />$a\left(\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}\right)+b\left(\dfrac{1}{\gamma}+\dfrac{1}{\alpha}\right)+c\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{\alpha}+\dfrac{b}{\beta}+\dfrac{c}{\gamma}\right)$<br />\end{center}


Sin perdida de generalidad asumamos que TEX: $$C>A>B$$ luego TEX: $$\gamma >\alpha >\beta$$
Tenemos la desigualdad
TEX: $$A\left( \frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma } \right)+B\left( \frac{1}{\gamma }+\frac{1}{\alpha } \right)+C\left( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } \right)\ge 2\left( \frac{A}{\alpha }+\frac{B}{\beta }+\frac{C}{\gamma } \right)$$

TEX: $$\left( \frac{A}{\beta }+\frac{A}{\gamma }+\frac{B}{\alpha }+\frac{B}{\gamma }+\frac{C}{\alpha }+\frac{C}{\beta } \right)-\left( \frac{2A}{\alpha }+\frac{2B}{\beta }+\frac{2C}{\gamma } \right)\ge 0$$

TEX: $$\left( \frac{A}{\beta }-\frac{A}{\alpha }+\frac{B}{\alpha }-\frac{B}{\beta } \right)+\left( \frac{B}{\gamma }-\frac{C}{\gamma }+\frac{C}{\beta }-\frac{B}{\beta } \right)+\left( \frac{C}{\alpha }-\frac{C}{\gamma }+\frac{A}{\gamma }-\frac{A}{\alpha } \right)\ge 0$$

TEX: $$\gamma \left( A-B \right)\left( \alpha -\beta \right)+\alpha \left( C-B \right)\left( \gamma -\beta \right)+\beta \left( C-A \right)\left( \gamma -\alpha \right)\ge 0$$

cuando es obvio
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pprimo
mensaje Jul 29 2017, 01:17 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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TEX: $$\left( A+B+C \right)\left( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma } \right)\ge 3\left( \frac{A}{\alpha }+\frac{B}{\beta }+\frac{C}{\gamma } \right)$$

TEX: $$\frac{A+B+C}{3}\cdot \frac{\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }}{3}\ge \frac{\frac{A}{\alpha }+\frac{B}{\beta }+\frac{C}{\gamma }}{3}$$

Alguien sabe si el sentido de la desigualdad de Chebyshev se puede invertir ? creo que si se puede modificando las hipotesis pero no lo he probado, de ser asi esto es chebyshev dry.gif
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