Transformaciones lineales y continuidad

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Transformaciones lineales y continuidad, Inténtelo es super bueno.

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Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 17 2015, 09:26 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $T:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$, una transformación lineal. Demuestre que :<br /><br />\noindent a) si $T \neq \vec{0} $. Entonces $T$ no es una función acotada.<br /><br />\noindent b) Existe $M>0$, tal que, para cualquier $\vec{x},\vec{y}$ se cumple que :<br />$$ \|\|T(\vec{x})-T(\vec{y})\|\| < M \|\|\vec{x}-\vec{y}\|\|$$ <br /><br />\noindent c) si $X \subset \mathbb{R}^n$ es un conjunto acotado. Entonces, la restricción $T\|_{X}: X \to \mathbb{R}^n$ es una función acotada<br /><br />\noindent d) $T$ es una función continua. <br /><br />\noindent e) Si: $$ \lim_{x \to 0} \frac{T(\vec{x})}{\|\|\vec{x}\|\|}= 0 $$ Entonces $T = \vec{0}$$ Hints: $TEX: \noindent 1.Toda transformación lineal se puede escribir como una matriz.<br /><br />\noindent 2. $A\vec{x}$ se puede escribir como $(A_1 \cdot \vec{x},...,A_m \cdot \vec{x})$ donde $A_i$ son los vectores fila de la matriz. <br /><br />\noindent 3. $\frac{\vec{x}}{\|\|\vec{x}\|\|}$ es un vector unitario.$ Mensaje modificado por Lichiel el Dec 17 2015, 10:56 AM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 17 2015, 11:05 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(2.718281828 @ Dec 17 2015, 11:52 AM) que pasa con e) cual seria el limite, 0? Una acotacion con respecto a los hints: No es tanto que la transformacion lineal se escriba una matriz, esta mas bien representada por, ya que son dos objetos distintos, uno es tecnicamente una funcion y lo otro es una matriz, y si bien el espacio de las transformaciones lineales de R^n a R^m es en efecto, isomorfo al espacio de las matrices, igual hay que tener algo de cuidado al decir tal hint. Al menos a mi en algun momento cuando estuve en el ramo de algebra lineal me confundio un poco. Saludos Claudio. Con respecto a e) ya corregí el error de tipeo. Con respecto a lo otro entiendo que hay un isomorfismo entre medio, pero bah ... escribir y representar es sólo una palabra (por lo menos para este problema) Mensaje modificado por Lichiel el Dec 17 2015, 11:06 AM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 29 2016, 10:52 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />a) Sea $x_0\in\mathbb R^m$ tal que $T(x_0)\not=0$ y sea $K=\\|T(x_0)\\|$. Dado cualquier $M>0$ real, basta elegir $\lambda\in\mathbb R$ con $\lambda>\dfrac{M}{K}$ para ver que<br />$$\\|T(\lambda x_0)-T(0)\\|= \lambda \\|T(x_0)\\|>M.$$<br /><br />d) Por propiedad b), para $\epsilon>0$ se tiene que si $0<\\|x-y\\|<\dfrac{\epsilon}{M}$ entonces $\\|T(x)-T(y)\\|<M\\|x-y\\|<\epsilon$.\\<br /><br />e) Supongamos que $T\not\equiv 0$ y sea $x_0$ tal que $T(x_0)\not=0$. A trav\'es de la trayectoria $\{\lambda x_0:\lambda\in(0,\infty)\}$ se tiene<br />$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\\|T(x)\\|}{\\|x\\|}=\lim_{\lambda\to 0}\dfrac{\\|T(\lambda x_0)\\|}{\\|\lambda x_0\\|}=\lim_{\lambda\to 0}\dfrac{\|\lambda\|\\|T(x_0)\\|}{\|\lambda\|\\|x_0\\|}=\dfrac{\\|T(x_0)\\|}{\\|x_0\\|}\not=0.$$<br />$ Salu2 Lichiel, se viene la vuelta a la u xd

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2016, 04:14 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Buena Nacho te dejo algunas de mis soluciones $TEX: \noindent a) Si $T$ fuese acotada entonces para cualquier $\vec{x}$ y $n \in \mathbb{N}$ se tiene que <br />$$n\|\|T(\vec{x})\|\|\leq \|\|T(n\vec{x})\|\|\leq M$$<br />$$\|\|T(\vec{x})\|\| \leq \lim_{n \to \infty} \frac{M}{n} = 0$$<br />Pero eso es una contradicción pues $T \neq 0 $<br /><br />\noindent d) La misma idea es Lipschitz entonces es continua<br /><br />\noindent e) Tenemos que <br />$$ \lim_{\vec{x}\to \vec{0}} A \left( \frac{\vec{x}}{\|\|\vec{x}\|\|}\right)=0$$ <br /><br />\noindent donde $A$ es una matriz que representa a $T$ y es continua por parte d). <br />$$ A \lim_{\vec{x}\to \vec{0}} \frac{\vec{x}}{\|\|\vec{x}\|\|}=0$$ <br />Pero $\frac{\vec{x}}{\|\|\vec{x}\|\|}$ es unitario por lo tanto $A = 0_{n \times m}$$ Nos vemos mañana me debes la b) y c) -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

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