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XXX OIM: 2015

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 23 2015, 10:53 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	30ª OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS Mayagüez, Puerto Rico, 2015 Primera Prueba: Miércoles 11 de Noviembre Problema 1: El número 125 puede escribirse como la suma de ciertos números enteros primos entre sí mayores a 1. Determine el número máximo de términos que esta suma puede tener. Problema 2: Una recta $TEX: $r$$ contiene los puntos $TEX: $A$, $B$, $C$, $D$$ , en ese orden. Sea $TEX: $P$$ un punto fuera de $TEX: $r$$ tal que $TEX: $\angle{APB} = \angle{CPD}$$ . Pruebe que la bisectriz del ángulo $TEX: $\angle{APD}$$ intersecta a $TEX: $r$$ en un punto $TEX: $G$$ tal que: $TEX: $\displaystyle\frac{1}{GA} + \frac{1}{GC} = \frac{1}{GB} + \frac{1}{GD}$$ Problema 3: Sean $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ las raíces de $TEX: $x^{2} - qx + 1$$ , donde $TEX: $q$$ es un racional mayor que $TEX: $2$$ . Sean $TEX: $s_1 = \alpha + \beta$, $t_1 = 1$$ , y para todo entero $TEX: $n \geq 2$$ : $TEX: $s_n = \alpha^n + \beta^n$$ $TEX: $t_n = s_{n-1} + 2s_{n-2} + \cdot \cdot \cdot + (n - 1)s_{1} + n$$ Pruebe que, para todo impar $TEX: $n$$ , $TEX: $t_n$$ es el cuadrado de un número racional. Segunda Prueba: Jueves 12 de Noviembre Problema 4: Sea $TEX: $ABC$$ un triángulo acutángulo y $TEX: $D$$ el pie de la perpendicular desde $TEX: $A$$ sobre el lado $TEX: $BC$$ . Sea $TEX: $P$$ un punto en el segmento $TEX: $AD$$ . Las rectas $TEX: $BP$$ y $TEX: $CP$$ intersectan a los lados $TEX: $AC$$ y $TEX: $AB$$ en $TEX: $E$$ y $TEX: $F$$ , respectivamente. Sean $TEX: $J$$ y $TEX: $K$$ los pies de las perpendiculares desde $TEX: $E$$ y $TEX: $F$$ sobre $TEX: $AD$$ , respectivamente. Muestre que $TEX: $\displaystyle\frac{FK}{KD}=\frac{EJ}{JD}$$ . Problema 5: Encuentre todos los pares de enteros $TEX: $(a,b)$$ tales que $TEX: $(b^2+7(a-b))^2=a^{3}b$.$ Problema 6: Beto juega al siguiente juego con su computador: inicialmente el computador escoge al azar 30 enteros entre 1 y 2015, y Beto los escribe en un pizarrón (pueden haber números repetidos). En cada turno, Beto escoge un entero positivo $TEX: $k$$ y algunos de los enteros escritos en el pizarrón, y resta $TEX: $k$$ a cada uno de los números elegidos, con la condición que los números resultantes permanezcan no negativos. El objetivo del juego es reducir los 30 números a 0, en cuyo caso el juego termina. Encuentre el menor número $TEX: $n$$ tal que, sin importar qué números elija el computador, Beto puede terminar el juego en a lo más $TEX: $n$$ turnos. -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 25 2015, 06:36 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 Sean $TEX: $a_1,a_2,...,a_n$$ los sumandos y sea $TEX: $p_i$$ el menor primo divisor de $TEX: $a_i$$ . Como los sumandos son coprimos dos a dos entonces no puede haber dos $TEX: $p_i$$ iguales. Luego notemos que si $TEX: $n\geq 10$$ entonces $TEX: $125=a_1+...+a_n\geq p_1+...+p_n\geq 2+3+5+7+...+29=129$$ (suma de los 10 primeros primos), imposible, luego $TEX: $n<10$$ . Para n=9, escribimos $TEX: $a_1+...+a_9=125$$ , como no puede haber dos pares, entonces los nueve sumandos son impares, luego acotando de la misma manera (ahora notando que el 2 no puede estar en la fac. prima de ningún sumando), tenemos que $TEX: $125=a_1+...+a_9\geq 3+5+...+29=127$$ , nuevamente un absurdo. Ahora veamos que para n=8, se tiene que 125=2+3+5+7+11+13+17+67, es decir con 8 se puede y por ende es el máximo. P5 Veamos que para $TEX: $a=b$$ tenemos solución. Luego los pares $TEX: $(a,a)\in \mathbb{Z}^2$$ son solución. De ahora en adelante $TEX: $a$$ distinto de $TEX: $b$$ . Veamos que desarrollando queda $TEX: $b^4+14b^2(a-b)+49(a-b)^2=a^3b$$ de donde $TEX: $(a-b)(14b^2+49(a-b))=b(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ . Como a es distinto de b entonces $TEX: $14b^2+49(a-b)=b(a^2+ab+b^2)$$ de donde $TEX: $ba^2+a(b^2-49)+b(b-7)^2=0$$ . Veamos que analizando el discriminante para la ecuación cuadrática en $TEX: $a$$ tenemos que $TEX: $\Delta=(b-7)^2(7-b)(3b+7)$$ que debe ser mayor o igual a 0 y además cuadrado perfecto, para esto notemos que basta que (7-b)(3b+7) debe ser mayor o igual a 0. Si ambos son negativos entonces $TEX: $-\frac{7}{3}>b\geq7$$ , imposible. Si ambos son positivos entonces $TEX: $-2\leq b\leq 7$$ , es decir $TEX: $b=-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7$$ , luego basta ver que valores de b hacen que delta sea cuadrado perfecto. Haciendo un chequeo no complicado basta ver que esto es valido para $TEX: $b=-2,0,3,6,7$$ . de donde tenemos $TEX: $\sqrt{\Delta}=27,49,32,5,0$$ , luego chequeando estos valores obtenemos que (-18,-2),(12,3),(0,7) son el resto de las soluciones, luego las soluciones son $TEX: $(a,a)$$ con $TEX: $a\in \mathbb{Z}$$ , $TEX: $(-18,-2)$$ , $TEX: $(12,3)$$ , $TEX: $(0,7)$$ Saludines

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 26 2015, 10:33 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2 Como G es el pie de la bisectriz del $TEX: $\angle APD$$ y ademas $TEX: $\angle APB=\angle CPD$$ entonces $TEX: $\angle BPG=\angle GPC$$ . Además notemos que $TEX: $\angle APC=\angle BPD$$ , y usando esto no es difícil de convencerse de lo siguiente: (i) $TEX: $\displaystyle \frac{PA\cdot sen\angle APB}{PD\cdot sen\angle BPD}=\displaystyle \frac{AB}{BD}$$ (ii) $TEX: $\displaystyle \frac{PD\cdot sen\angle CPD}{PA\cdot sen\angle APC}=\displaystyle \frac{CD}{AC}$$ De estas dos expresiones obtenemos que $TEX: $\displaystyle \frac{PA^2}{PD^2}=\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{BD\cdot CD}$$ , de donde $TEX: $\displaystyle \frac{PA^2\cdot BD}{PD^2\cdot AC}=\displaystyle \frac{AB}{CD}$$ (iii) Por otro lado, notemos por Teorema del Seno que: (a) $TEX: $\displaystyle \frac{sen\angle CPD}{CD}=\displaystyle \frac{sen\angle PDA}{PC}$$ , (b) $TEX: $\displaystyle \frac{sen\angle APB}{AB}=\displaystyle \frac{sen\angle PAD}{PB}$$ , © $TEX: $\displaystyle \frac{sen\angle PDA}{PA}=\displaystyle \frac{sen\angle PAD}{PD}$$ . Juntando estas tres expresiones obtenemos que $TEX: $\displaystyle \frac{AB}{CD}=\displaystyle \frac{PB\cdot PA}{PC\cdot PD}=\displaystyle \frac{PA^2\cdot BD}{PD^2\cdot AC}$$ (esta ultima igualdad viene de (iii) ) de donde $TEX: $\displaystyle \frac{PA\cdot PC}{PD\cdot PB}=\displaystyle \frac{AC}{BD}$$ . Finalmente, por Teorema de la bisectriz tenemos que $TEX: $\displaystyle \frac{GC}{GB}=\displaystyle \frac{PC}{PB}$$ y $TEX: $\displaystyle \frac{GA}{GD}=\displaystyle \frac{PA}{PD}$$ de donde $TEX: $\displaystyle \frac{PA\cdot PC}{PD\cdot PB}=\displaystyle \frac{GA\cdot GC}{GD\cdot GB}$$ , es decir: $TEX: $\displaystyle \frac{AC}{BD}=\displaystyle \frac{GA\cdot GC}{GD\cdot GB}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{AC}{GA\cdot GC}=\displaystyle \frac{BD}{GD\cdot GB}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{GA+GC}{GA\cdot GC}=\displaystyle \frac{GD+GB}{GD\cdot GB}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{GA}+\displaystyle \frac{1}{GC}=\displaystyle \frac{1}{GB}+\displaystyle \frac{1}{GD}\blacksquare$$ P4 Como $TEX: $FK//JE//BC$$ , por Thales tenemos que $TEX: $\displaystyle \frac{FK}{BD}=\displaystyle \frac{AF}{AB}$$ y $TEX: $\displaystyle \frac{EJ}{DC}=\displaystyle \frac{AE}{AC}$$ de donde: (i) $TEX: $\displaystyle \frac{FK}{EJ}=\displaystyle \frac{AF\cdot AC\cdot BD}{AB\cdot AE\cdot DC}$$ De forma analoga (ii) $TEX: $\displaystyle \frac{KD}{JD}=\displaystyle \frac{AK\cdot AE\cdot FB}{AJ\cdot EC\cdot AF}$$ Por Ceva notemos que $TEX: $\displaystyle \frac{AF\cdot BD\cdot EC}{FB\cdot DC\cdot AE}=1$$ y nuevamente por Thales $TEX: $\displaystyle \frac{AJ}{AE}=\displaystyle \frac{AD}{AC}$$ y $TEX: $\displaystyle \frac{AF}{AK}=\displaystyle \frac{AB}{AD}$$ de donde $TEX: $\displaystyle \frac{AC\cdot AJ\cdot AF}{AB\cdot AK\cdot AE}=1$$ . Juntando estas dos expresiones obtenemos que $TEX: $\displaystyle \frac{AF\cdot AC\cdot BD}{AB\cdot AE\cdot DC}=\displaystyle \frac{AK\cdot AE\cdot FB}{AJ\cdot EC\cdot AF}$$ de donde $TEX: $\displaystyle \frac{FK}{EJ}=\displaystyle \frac{KD}{JD}\Leftrightarrow \displaystyle \frac{FK}{KD}=\displaystyle \frac{EJ}{JD}\blacksquare$$

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 6 2015, 08:36 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P3: Demostraremos algunos lemas Lema 1: $TEX: \(\alpha\)$ y $TEX: \(\beta\)$ son reales tales que $TEX: \( \alpha + \beta = q \)$ y $TEX: \( \alpha\beta=1 \)$ Demostración: Directo de las relaciones de Cardano-Vieta, aplicadas a la ecuación $TEX: \( x^2-qx+1=0 \)$ . Además, ya que $TEX: \( q>2\)$ , el discriminante de la ecuación es positivo, por lo que sus raíces ( $TEX: \(\alpha\)$ y $TEX: \(\beta\)$ ) son reales. Lema 2: Para todo $TEX: \(n\)$ natural, $TEX: \(s_n\)$ es racional. Demostración: Lo probaremos por inducción. Haciendo pleno uso del lema 1, para $TEX: \(n=1\)$ , tenemos: $TEX: \( \displaystyle s_1=\alpha+\beta=q \)$ Y para $TEX: \(n=2\)$ , tenemos $TEX: \( \displaystyle s_2=\alpha^2+\beta^2 \)$ $TEX: \( \displaystyle =\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2-2 \)$ $TEX: \( \displaystyle =(\alpha+\beta)^2-2 \)$ $TEX: \( \displaystyle =q^2-2 \)$ siendo ambos evidentemente racionales. Sea n natural mayor a 2. Supongamos que $TEX: \(s_{n-1}\)$ y $TEX: \(s_{n-2}\)$ son racionales. Tenemos entonces: $TEX: \( \displaystyle s_{n-1} \cdot q = (\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})(\alpha+\beta) \)$ $TEX: \( \displaystyle s_{n-1} \cdot q = (\alpha^n+\beta^n)+\alpha\beta(\alpha{n-2}+\beta{n-2}) \)$ $TEX: \( \displaystyle s_{n-1} \cdot q = s_n+s_{n-2} \)$ $TEX: \( \displaystyle \therefore s_n=s_{n-1} \cdot q - s_{n-2} \)$ Por lo que $TEX: \(s_n\)$ también es racional. Por inducción, es racional para todo $TEX: \(n\)$ natural. Lema 3: Para $TEX: \( i>j> 0\)$ naturales, se tiene que $TEX: \( s_i \cdot s_j=s_{i-j}+s_{i+j}\)$ Demostración: $TEX: \( \displaystyle s_i \cdot s_j \)$ ´ $TEX: \( \displaystyle =(\alpha^i+\beta^i)(\alpha^j+\beta^j) \)$ $TEX: \( \displaystyle =(\alpha^{i+j}+\beta{i+j})+(\alpha\beta)^{j}(\alpha{i-j}+\beta{i-j}) \)$ $TEX: \( \displaystyle =s_{i+j}+s_{i-j} \)$ Concluyendo lo deseado. Lema 4: $TEX: \( (1+s_1+s_2+ \dots + s_k)s_{k+1}=s_1+s_2+\dots+s_{2k+1} \)$ Demostración: Tenemos: $TEX: \( \displaystyle (1+s_1+s_2+ \dots + s_k)s_{k+1} \)$ $TEX: \( \displaystyle =s_{k+1}+s_1s_{k+1}+s_2s_{k+1}+ \dots +s_ks_{k+1} \)$ Haciendo repetidas veces uso del lema 3: $TEX: \( \displaystyle =s_{k+1}+(s_{k+2}+s_k)+(s_{k+3}+s_{k-1})+ \dots +(s_{2k+1}+s_1) \)$ $TEX: \( \displaystyle =s_1+s_2+\dots+s_{2k}+s_{2k+1} \)$ Concluyendo lo buscado. Lema 5: Para todo $TEX: \(n\)$ natural, $TEX: \(t_{n+2}=t_{n}+2(s_1+\dots+s_n)+(s_{n+1}+2)\)$ Demostración: Por enunciado, se tiene: $TEX: \( \displaystyle t_{n+2}=s_{n+1}+2s_n+3s_{n-1}+ \dots + (n+1)s_1+(n+2) \)$ $TEX: \( \displaystyle t_{n+2}=2(s_n+s_{n-1}+\dots+s_1)+(s_{n-1}+2s_{n-2}+\dots+(n-1)s_n+n)+(s_{n+1}+2) \)$ Pero el segundo paréntesis es $TEX: \(t_n\)$ , reemplazando: $TEX: \( \displaystyle t_{n+2}=t_{n}+2(s_1+\dots+s_n)+(s_{n+1}+2) \)$ Obteniendo lo buscado Sea $TEX: \(n=2k+1\)$ un natural impar, distinto de 1. Probaremos por inducción que: $TEX: \( \displaystyle t_{2k+1}=(1+s_1+s_2+\dots+s_k)^2 \)$ Para $TEX: \(k=1\)$ , tenemos: $TEX: \( \displaystyle t_{2\cdot 1+1}=t_3=s_2+2s_1+3 \)$ $TEX: \( \displaystyle t_3=\alpha^2+\beta^2+2(\alpha+\beta)+2+1 \)$ $TEX: \( \displaystyle t_3=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2+2(\alpha+\beta)+1 \)$ $TEX: \( \displaystyle t_3=(\alpha+\beta)^2+2(\alpha+\beta)+1 \)$ $TEX: \( \displaystyle t_3=(\alpha+\beta+1)^2 \)$ $TEX: \( \displaystyle t_3=(s_1+1)^2 \)$ Cumpliéndose este caso base. Supongamos que para un $TEX: \(k\)$ natural, se tiene $TEX: \( \displaystyle t_{2k+1}=(1+s_1+\dots+s_k)^2 \)$ Utilizando el lema 5, para $TEX: \(2k+1\)$ $TEX: \( \displaystyle t_{2(k+1)+1}=t_{2k+1}+2(s_1+\dots+s_{2k+1})+(s_{2k+2}+2) \)$ Utilizando la hipótesis inductiva y el lema 4 $TEX: \( \displaystyle t_{2(k+1)+1}=(1+s_1+\dots+s_k)^2+2(1+s_1+\dots+s_k)s_{k+1}+(s_{2k+2}+2) \)$ $TEX: \( \displaystyle t_{2(k+1)+1}=\dots+(\alpha^{2k+2}+\beta^{2k+2}+2\alpha^{k+1}\beta^{k+1}) \)$ $TEX: \( \displaystyle t_{2(k+1)+1}=(1+s_1+\dots+s_k)^2+2(1+s_1+\dots+s_k)s_{k+1}+(\alpha^{k+1}+\beta^{k+1})^2 \)$ $TEX: \( \displaystyle t_{2(k+1)+1}=(1+s_1+\dots+s_k)^2+2(1+s_1+\dots+s_k)s_{k+1}+s_{k+1}^2 \)$ $TEX: \( \displaystyle t_{2(k+1)+1}=(1+s_1+\dots+s_k+s_{k+1})^2 \)$ Cumpliéndose para $TEX: \(k+1\)$ . Por lo tanto, la igualdad es válida para todo $TEX: \(k\)$ natural. Esto implica que para $TEX: \(n=2k+1\)$ impar, $TEX: \(t_n\)$ es el cuadrado de $TEX: \(1+s_1+\dots+s_k\)$ , pero gracias al lema 2 y la clausura de los racionales con la suma, dicha expresión es racional. Por lo tanto, para dichos valores es el cuadrado de un racional. Falta solamente analizar $TEX: \(t_1=1\)$ , que evidentemente cumple. Esto concluye la demostración -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2015, 11:50 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P2: Lema: Sea $TEX: \(ABC\)$ un triángulo con bisectriz interna $TEX: \(AD\)$ ( $TEX: \(D\)$ en $TEX: \(BC\)$ ). Demuestre que el valor de la expresión $TEX: \( \displaystyle \frac{1}{BD} - \frac{1}{CD} \)$ depende únicamente de la longitud de la bisectriz $TEX: \(AD\)$ y el ángulo que ésta forma con el lado $TEX: \(BC\)$ Construcciones auxiliares: Tracemos la circunferencia circunscrita al $TEX: \(ABC\)$ , que intersecta a la bisectriz $TEX: \(AD\)$ en un punto $TEX: \(E \neq A \)$ . Además, trazamos la perpendicular desde $TEX: \(E\)$ a $TEX: \(BC\)$ , que la corta en $TEX: \(F\)$ . Demostración:Llamemos $TEX: \(AD=l\)$ , $TEX: \(BD=x\)$ , $TEX: \(CD=y\)$ y $TEX: \(DE=k\)$ . Supongamos que son constantes los valores de $TEX: \(l\)$ y el ángulo $TEX: \(FDE\)$ . Ya que conocemos el ángulo $TEX: \(DFE\)$ (recto, por construcción) y $TEX: \(FDE\)$ , el triángulo FDE tiene una forma definida (por la semejanza bajo criterio AA), por lo que: $TEX: \( \displaystyle \frac{DF}{k}=cte \)$ Podemos dejar escrito $TEX: \(DF\)$ en función de $TEX: \(x\)$ e $TEX: \(y\)$ , ya que $TEX: \(F\)$ es punto medio de $TEX: \(BC\)$ (al ser $TEX: \(BEC\)$ isósceles). Esto nos lleva a: $TEX: \( \displaystyle DF=\frac{y-x}{2} \)$ Y reemplazando en lo anterior, llegamos a $TEX: \( \displaystyle \frac{y-x}{2k}=cte \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac{y-x}{k}=cte \)$ Ahora, podemos dividir por $TEX: \(l\)$ (que es constante), y aprovecharnos de la potencia de punto desde $TEX: \(D\)$ ( $TEX: \( xy=lk \)$ ), de donde: $TEX: \( \displaystyle \frac{y-x}{kl}=cte \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac{y-x}{xy}=cte \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=cte \)$ De donde se concluye Solución Consideremos los triángulos $TEX: \(GAD\)$ y $TEX: \(GBC\)$ . Como comparten la longitud de la bisectriz y el ángulo que esta forma, podemos igualar las expresiones que nos otorga el lema: $TEX: \( \displaystyle \frac{1}{GA} - \frac{1}{GD} = \frac{1}{GB} - \frac{1}{GC} \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac{1}{GA} + \frac{1}{GC} = \frac{1}{GB} + \frac{1}{GD}\)$ Con lo que queda demostrado ^^ Saludos! Mensaje modificado por vocin el Dec 13 2015, 11:51 AM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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