I1 Álgebra Lineal MAT1226, Lic. Matemática

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AngeF Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 15 2015, 11:16 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 15-November 15 Desde: Chile Miembro Nº: 142.073 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />\textbf{Problema 1}. Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo $F$, y $T: V \to W$ una transformación lineal. Suponga que $\dim V = \dim W < \infty$. Demuestre que $T$ es uno a uno sí y solo sí es sobreyectiva.<br /><br />\textbf{Problema 2}. Sean $$\alpha_{1}=(1,1,-2,1), \quad \alpha_{2}=(3,0,4,-1), \quad \alpha_{3}=(-1,2,5,2).$$ Sean $$\beta_{1}=(4,-5,9,-7), \quad \beta_{2}=(3,1,-4,4), \quad \beta_{3}=(-1,1,0,1).$$<br />¿Cuáles de los vectores $\beta_{1}$, \quad $\beta_{2}$, \quad $\beta_{3}$ están en el subespacio $W$ de $V=(\mathbb{Z}_{7})^{4}$ generado por los $\alpha_{i}$? Encuentre las coordenadas de alguno de ellos en la base ordenada $\mathcal{B}=\{\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\}$ de $W$.<br /><br /><br />\textbf{Problema 3}. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un cuerpo $F$. Sean $\mathcal{B}=\{\alpha_{1},\dotsc, \alpha_{n}\}$ y $\mathcal{B}^{\prime}=\{\alpha_{1}^{\prime},\dotsc, \alpha_{n}^{\prime}\}$ dos bases ordenadas de $V$. Sea $P$ la matriz de $n \times n$ cuyas columnas están dadas por $P_{j}=[\alpha_{j}^{\prime}]_{\mathcal{B}}$, $j=1,\dotsc, n$. Demuestre que $[\alpha]_{\mathcal{B}}=P[\alpha]_{\mathcal{B}^{\prime}}$ para todo $\alpha \in V$.<br /><br /><br />\textbf{Problema 4}. Sea $V$ el espacio de las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}$, visto como espacio vectorial sobre los complejos. Sean $$f_{1}(t):=e^{-it}, \quad f_{2}(t):=\sin{t}, \quad f_{3}(t):=ie^{it}-t^{2}, \quad f_{4}(t):=e^{it}-it^{2}.$$<br />Sean $W_{1}=\langle f_{1},f_{2}\rangle$, $W_{2}=\langle f_{3},f_{4}\rangle.$ Encuentre una base para $W_{1} \cap W_{2}$. Demuestre que $f_{1}$ y $f_{2}$ son l.i., lo mismo para $f_{3}$ y $f_{4}$. Calcule $\dim (W_{1}+W_{2})$ y extienda la base de $W_{1} \cap W_{2}$ a una base de $W_{1}+W_{2}$.<br /><br />$ PD: Si alguien sabe como alinear todo que me diga :c es mi primer texto en $TEX: \LaTeX$ y necesito aprender muy rápido... Mensaje modificado por AngeF el Jan 22 2016, 12:13 PM

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2015, 03:59 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent P1. tenemos que $\dim W < \infty $ entonces: $$\dim V = \dim Im(T) + \dim ker(T)$$ Si $T$ es 1-1 entonces $\dim ker(T) = 0$ entonces $\dim V = \dim W = \dim Im(T)$. Ahora como $Im T \subset W $ entonces $Im T = W $. Por lo tanto es sobre. Ahora si $Im(T)=W$ entonces $\dim V = \dim Im(T)$ por lo que $\dim ker(T)=0$ es decir $T$ es 1-1$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

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