VI JIM Sede Valparaíso 2015

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VI JIM Sede Valparaíso 2015, Realizada por la UTFSM

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alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2015, 01:20 PM Publicado: #11
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	p1 demostrar la primera parte de la desigualdad es bastante simple pero en la segunda nos vamos complicando, transformando la cosa fea del medio en sumatoria obtenemos $TEX: $\displaystyle \sum_{k=n + 1}^{2n} \dfrac{1}{k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{1}{k} - \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k-1}+\dfrac{1}{2k}-\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}$$ ahora supongamos que lo ultimo es menor a $TEX: $\dfrac{3}{4}$$ y nos queda $TEX: $\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+....+\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}<\dfrac{3}{4}$$ cancelando algunos terminos y achicando otros llegamos a: $TEX: $\dfrac{1}{105}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{15}....+\dfrac{1}{2k-1}<\dfrac{1}{72}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{14}....+\dfrac{1}{2k-2}+\dfrac{1}{2k}$$ lo cual es cierto ya que $TEX: $\dfrac{1}{2n+1}<\dfrac{1}{2n}$$ por lo tanto para valores de n mayores qeu 7 se cumple que su progresion es menor que 3/4 pero sabemos que esta progresion va en aumento convergente por lo que los valores n menores que 7 dan hacen un progresion tambien menor que la progresion de 7 menor que 3/4 por lo que es cierta la primera suposicion y estariamos Salu2

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 27 2015, 08:43 PM Publicado: #12
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(Kaissa @ Oct 25 2015, 11:46 AM) ¿Te asustan los problemas?? Son de pruebas conocidas y añejas. Un buen lector con cero habilidad matemática puede sacar 100% acá. Una persona con un (0+e)% grado de inteligencia puede ahorrarse el 100% de sus comentarios patetitos... Poniendonos serios, bacan que se sigan dando estas instancias sobre todo acá en Valpito, como ex-participante fue una linda experiencia haber participado desde 2do medio y compartir con la gente de la usm, muy tela... Saludos pa los cabros

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 18 2021, 10:36 PM Publicado: #13
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	P1 $TEX: Para la desigualdad de la izquierda, basta ver que $\frac{1}{k}>\frac{1}{2n}$ para todo $k<2n$, se suman todas las desigualdades y se concluye. Para la otra, denotemos por $H_n=1+\frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n}$ y si $A_n$ es la expresión en cuestión, luego $A_n = H_{2n}-H_{n}$, es fácil ver que $A_{n+1}-A_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$ luego $$A_{n+1} = \sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} + A_1 = \sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}$$ Definamos la suma $S_{n+1} = \sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+2)(2k+3)}$, luego vemos que $$A_{n+1}+S_{n+1} = \sum_{k=1}^{2n+2}\frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{2n+2} \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}= 1-\frac{1}{2n+3}$$ Además <br />\begin{eqnarray}<br />\nonumber A_{n+1}=\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} &<& \frac{1}{2} + \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(2k+2)(2k+3)}\\<br />\nonumber &=&\frac{1}{2} +S_{n+1} - \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}<br />\end{eqnarray}<br />luego, se sigue que <br />$$2 A_{n+1}<(1-\frac{1}{2n+3}) + \frac{1}{2} - \frac{1}{(2n+2)(2n+3)} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2n+2}$$ y así $A_{n+1}<\frac{3}{4}-\frac{1}{2(2n+2)}<\frac{3}{4}$ y concluimos.$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

SuKeVinBellaKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 20 2021, 06:25 AM Publicado: #15
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 524 Registrado: 2-October 13 Miembro Nº: 122.939 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Oct 25 2015, 03:46 PM) ¿Te asustan los problemas?? Son de pruebas conocidas y añejas. Un buen lector con cero habilidad matemática puede sacar 100% acá. Claudio es un buen lector CITA(2.718281828 @ Dec 19 2021, 01:09 PM) PS:kaissa chu.pala. Mensaje modificado por SuKeVinBellaKo el Dec 20 2021, 06:26 AM

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