VI JIM Sede Valparaíso 2015, Realizada por la UTFSM Opciones

[Tobal.alb]

VI Jornada Interescolar de Matemáticas

Primera prueba
Jueves 22 de Octubre de 2015

Problema 1. Demuestre que para todo entero positivo se cumple que:

Problema 2.
(a) Considere un triángulo cuyos vértices se encuentran en los vértices de un papel cuadriculado¹. Demuestre que el doble del área de este triángulo es un número entero.

(b) Demuestre que no existe un triángulo equilátero cuyos vértices se encuentren en los vértices de este papel.

Problema 3. Encontrar todos lo enteros positivos con tales que

Problema 4. Una tableta de chocolate contiene trozos. Se rompe la tableta para obtener pedazos más pequeños, después se sigue con uno de los pedazos y así sucesivamente.
Entonces, ¿cuántas veces hay que romper los pedazos hasta llegar a los trozos individuales?. Compruebe que no hay manera de llegar a trozos individuales en un número menor de pasos.

¹ Llamaremos vértices de un papel cuadriculado a los vértices de los cuadrados pertenecientes al papel cuadriculado.

Segunda prueba
Viernes 21 de Octubre de 2015

Problema 5. Consideremos una sucesión infinita con y enteros, tal que contiene al menos un número cuadrado.
Demuestre que la sucesión dada posee infinitos números cuadrados.

Problema 6. Las palabras de un idioma extraterrestre contienen solamente las letras 0 y 1. Cada palabra tiene longitud 15 y cada dos palabras distintas difieren en al menos 3 posiciones.
Demuestre que el idioma tiene a lo más 2048 palabras.

Problema 7. Considere un rectángulo en cuyo interior se halla una curva cerrada que toca en al menos en un punto cada uno de los lados de dicho rectángulo.
Demuestre que el largo de la curva es mayor o igual que dos veces la longitud de la diagonal del rectángulo.

Problema 8. Considere un cubo de lado 1.
(a) Demuestre que existen 9 puntos en¹ dicho cubo tal que para cualquier par de ellos la distancia entre estos es mayor o igual a .

(b) Demuestre que para cualquier conjunto de 9 puntos en dicho cubo existen dos puntos tales que la distancia entre estos es menor o igual que .

¹ Se entiende que los puntos pueden estar tanto en el interior, como en las caras de tal cubo.

Tiempo: 4 horas para cada prueba.

Mensaje modificado por Tobal.alb el Oct 24 2015, 02:54 AM

[alonc]

hola,
de casualidad
quienes dan esta prueba?
ademas en el p4
como se rompe el
chocolate?
a la mitad supongo (?)

[Tobal.alb]

hola,
de casualidad
quienes dan esta prueba?
ademas en el p4
como se rompe el
chocolate?
a la mitad supongo (?)

Como estimes conveniente (he ahí la cuestión).
Alumnos de 3ro y 4to medio (algunos de 2do) de la V región y de la metropolitana también

[juancodmw]

P5

Supongamos que para enteros se tiene que , por lo que los otros términos de la sucesión quedarán definidos de la forma . Entonces nuestra tarea es mostrar que existen infinitos tal que para infinitos enteros se tiene que . Notando que , necesitamos que , lo cual es directo, puesto que basta notar que para con entero se cumple lo solicitado y se concluye por esto ultimo que existen infinitos cuadrados

[Kaissa]

hola,
de casualidad
quienes dan esta prueba?

¿Te asustan los problemas??

Son de pruebas conocidas y añejas.
Un buen lector con cero habilidad matemática puede sacar 100% acá.

[DiegoGabriel]

Un buen lector con cero habilidad matemática puede sacar 100% acá.

[alonc]

¿Te asustan los problemas??

Son de pruebas conocidas y añejas.
Un buen lector con cero habilidad matemática puede sacar 100% acá.

no jaja
queria participiar

[alonc]

alternativa al p5

podemos usar una especie de induccion
tomamos

sumamos

y quedamos con

de aqui probamos que si existe un numero dentro de la
progresion que sea cuadrado habra otro mayor
que tambien sea cuadrado

salu2
p3 es de la onm 2010
si dividimos la expresion por 3

[alonc]

p4
es asi?

a cada corte sumo un chocolate por lo tanto debo sumar 40 donde c=cantidad de cortes
y llego a la ecuacion
1+c=40
c=39
y seria (?)
saludos

Mensaje modificado por alonc el Oct 27 2015, 01:26 PM

[Tobal.alb]

¿Te asustan los problemas??

Son de pruebas conocidas y añejas.
Un buen lector con cero habilidad matemática puede sacar 100% acá.

Realmente ya no comprendo el fin de tus comentarios, siempre es lo mismo. Ni si quiera conoces el fin de la Jornada, el trabajo y la motivación que hay detrás y vienes a hacer tus típicos comentarios basura, intentando menospreciar lo hecho, como en el 90% de los temas que comentas.
Espero que no se siga desvirtuando el tema.

Saludos!