Nula por acotada en integrales

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Nula por acotada en integrales

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nhnsn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2015, 02:23 AM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 83 Registrado: 12-August 14 Miembro Nº: 131.373 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si g:[a,b]--->R es tal que $TEX: $\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx=0$$ , entonces, para toda función integrable f, se tiene $TEX: $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\cdot g(x) dx=0$$

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2015, 11:11 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Si $g(x)$ y $f(x)$ son integrables entonces $f(x)g(x)$ tambien es integrable. Ahora si $\int_{a}^b g(x)dx = 0 $ tenemos que para toda partición $P^$:<br />$$ \lim_{\|P\| \to 0}S(g,P^)=0$$<br />Consideremos la suma de riemman $ S(fg,P^)$ y $\displaystyle M=\sup_{x \in [a,b]}\|f(x)\|$ entonces se tiene la desigualdad:<br />$$ \| S(fg,P^) \| \leq \|S(Mg,P^)\|=\|M\|\|S(g,P^)\|$$ luego haciendo $\|P^\| \to 0 $<br />Se tiene que <br />$$ \int_{a}^b f(x)g(x)dx = 0 $$<br />$ falta como hipotesis que g(x)>0 o si no con f(x)=x y g(x)=x^3 da problemas en [-1,1] Cualquier golazo condoro me avisan, ¡mis saludos! Mensaje modificado por Lichiel* el Oct 12 2015, 11:24 AM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2015, 12:20 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(nhnsn @ Oct 12 2015, 02:23 AM) Si g:[a,b]--->R es tal que $TEX: $\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx=0$$ , entonces, para toda función integrable f, se tiene $TEX: $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\cdot g(x) dx=0$$ CS = rip

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2015, 12:31 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Oct 12 2015, 01:20 PM) CS = rip ¿Cómo sale con CS ? no lo veo -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

destroyer Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2015, 07:47 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 576 Registrado: 24-November 11 Miembro Nº: 97.702 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	y si g(x) función impar es integrable en [-b,b], y tomamos f(x)=g(x) ? por ejemplo g(x)=sin(x), integrando sin^2(x) en [-pi/2, pi/2]

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2015, 09:52 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(destroyer @ Oct 12 2015, 08:47 PM) y si g(x) función impar es integrable en [-b,b], y tomamos f(x)=g(x) ? por ejemplo g(x)=sin(x), integrando sin^2(x) en [-pi/2, pi/2] Por esa razón tiene que ser g(x)>=0 para cualquier x en [a,b] Mensaje modificado por Lichiel el Oct 12 2015, 09:53 PM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

nhnsn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 14 2015, 10:20 AM Publicado: #8
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 83 Registrado: 12-August 14 Miembro Nº: 131.373 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sí, era g(x)>=0 , pero creo que también sirve si es g(x)<=0. Sobre la demostración de Lichiel, creo que está bien, pero de todas formas quiero proponer otro tipo de demostración: Como g >= 0 y posee integral 0, ninguno de los puntos donde la función es distinta de 0 puede ser un punto de continuidad. Si alguno lo fuera, digamos c, entonces exitiría una vecindad (c-d,c+d) conteniendo a dicho punto en donde todas las imágenes son distintas de 0. En este caso, todas serían mayores a 0. Luego, escogiendo la partición P={a,c-(d/2),c+(d/2),b}, se tiene una suma inferior de g mayor que cero. Entonces la integral inferior=integral de g es mayor a 0, una contradicción. Luego, el conjunto $TEX: X={$x\in [a,b\|$; $g(x) \not =0$}$ posee sólo puntos de discontinuidad. Se sigue que, como g es integrable, debe poseer medida nula. Como $TEX: Y={$x\in [a,b\|$;$f(x)g(x)\not =0$}$ está contenido en X, también tiene medida nula. Añadiendo que fg es integrable, se tiene que, por otro ejercicio(que voy a subir luego), la integral de f*g es 0.

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