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Selectivo Ibero 2015

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2015, 07:46 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Selectivo equipo chileno Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas 2015 Miércoles 12 de Agosto Problema 1: Determine el número de funciones $TEX: $f,g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$ tales que $TEX: $\forall n \in \mathbb{N}$$ $TEX: $f(g(n))=n+2015$$ $TEX: $g(f(n))=n^2+2015$$ Problema 2: En el país de Muilejistán, existe una red de caminos que une todos sus ciudades y que tiene la particularidad de que para viajar entre dos cualesquiera de sus ciudades existe una única trayectoria sin retrocesos (es decir, una única trayectoria donde el viajero nunca se devuelve por el mismo camino que venía). La mayor trayectoria posible entre dos ciudades tiene un largo de 600 kilómetros. Por ejemplo, la trayectoria que va desde la ciudad de Mlar hasta la ciudad de Nlar es de 600 kilómetros. Del mismo modo, la trayectoria que va desde la ciudad de Klar hasta la ciudad de Glar es también de 600 kilómetros. 1.- Si Jalim sale de Mlar con dirección a Nlar al mediodía y Kalim sale de Klar con dirección a Glar también al mediodía, moviéndose ambos a la misma velocidad, demuestre que se encuentran en algún punto de su trayectoria. 2.- Si la distancia en kms entre cada par de ciudades es un entero. Probar que la distancia en kilómetros, de Glar a Mlar es par. Problema 3: Pruebe que en un triángulo acutángulo escaleno, el ortocentro, el incentro y el circuncentro no pueden ser colineales Problema 4: Sean $TEX: $x,y \in \mathbb{R^+}$$ , pruebe que: $TEX: $\displaystyle \left(1+\frac{1}{x} \right) \left(1+\frac{1}{y} \right) \geq \left(1+\frac{2}{(x+y)} \right)^2$$ Tiempo: 2 horas 30 minutos Mensaje modificado por Niklaash el Aug 18 2015, 08:08 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2015, 07:50 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P4: Por Cauchy-Schwarz $TEX: \( \displaystyle \left( 1+\frac{1}{x} \right) \left( 1+\frac{1}{y} \right) \geq \left( 1+\frac{1}{\sqrt{xy}} \right)^2 \)$ Pero por MA-MG, tenemos que $TEX: \( \displaystyle \frac{x+y}{2} = \sqrt{xy} \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac{1}{ \sqrt{xy} }=\frac{2}{x+y} \)$ Reemplazando se llega a lo solicitado Mensaje modificado por vocin el Aug 12 2015, 07:51 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 12 2015, 08:15 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Otra pal P4 Lema: Si $TEX: $x, y \in \mathbb{R^{+}}$$ entonces $TEX: $(x+y)^{2}\geq 4xy$$ . $TEX: $(x-y)^{2}\geq 0 \Longrightarrow x^{2}+y^{2} \geq 2xy \Longrightarrow (x+y)^{2}\geq 4xy.$$ Desarrollando la expresión: $TEX: $\left(1+\dfrac{1}{x} \right) \left(1+\dfrac{1}{y} \right) \geq \left(1+\dfrac{2}{x+y} \right)^{2}$\\<br />$\Rightarrow 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{xy} \geq 1+\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{(x+y)^{2}}$\\<br />$\Rightarrow \dfrac{x+y+1}{xy} \geq \dfrac{4(x+y)+4}{(x+y)^{2}}$\\<br />$\Rightarrow (x+y)^{2} \geq 4xy$$ lo cual es cierto en virtud del lema enunciado al principio.

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 08:05 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Me parece que el problema 2 esta mal. Si suponemos que el país sólo tiene 4 ciudades M, N, K y G. Y las colocamos en un círculo orientado en sentido positivo en orden: N, M, G, K. De forma que los caminos de N a M, y de G a K, sean de 1 km. Que el camino de K a N sea de 301 kms. Y que el camino de M a G sea de 298 kms. Entonces valen las hipótesis pero no lo pedido.

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 08:50 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Luffy @ Aug 17 2015, 10:05 AM) Me parece que el problema 2 esta mal. Si suponemos que el país sólo tiene 4 ciudades M, N, K y G. Y las colocamos en un círculo orientado en sentido positivo en orden: N, M, G, K. De forma que los caminos de N a M, y de G a K, sean de 1 km. Que el camino de K a N sea de 301 kms. Y que el camino de M a G sea de 298 kms. Entonces valen las hipótesis pero no lo pedido. No se cumple la hipótesis de unicidad de los caminos. Por ejemplo, de M a K hay dos caminos MGK y MNK.

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 09:20 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No porque los caminos están dirigidos de forma coherente con la orientación del círculo. Según lo que dice el enunciado, yo interpreto que no se puede retroceder, osea que las aristas están dirigidas. Quizá lo estoy entendiendo mal :S. Mensaje modificado por Luffy el Aug 17 2015, 09:26 AM

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 09:39 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si ahora que lo releí me doy cuenta que lo interpreté mal, los caminos no están dirigidos, y las trayectorias son únicas siempre que se consideren válidas las trayectorias que no poseen retrocesos. En ese caso el problema tiene las soluciones deseadas. Osea hay que pensar el problema como un árbol (grafo). Igual está un poco enredado, sobretodo esos nombres de mrda que eligieron. Pd: Fmat ql no a la censura! Mensaje modificado por Luffy el Aug 17 2015, 09:44 AM

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 12:13 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Luffy @ Aug 17 2015, 11:39 AM) Si ahora que lo releí me doy cuenta que lo interpreté mal, los caminos no están dirigidos, y las trayectorias son únicas siempre que se consideren válidas las trayectorias que no poseen retrocesos. En ese caso el problema tiene las soluciones deseadas. Osea hay que pensar el problema como un árbol (grafo). Igual está un poco enredado, sobretodo esos nombres de mrda que eligieron. Pd: Fmat ql no a la censura! Sí, esta bien enredada la descripción del problema.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 12:53 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Niklaash @ Aug 12 2015, 07:46 PM) Problema 3: Pruebe que en un triángulo acutángulo escaleno, el ortocentro, el incentro y el circuncentro no pueden ser colineales Sólo en isósceles pasa. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Pedantic Anarchy... Pedantic Anarchy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 03:38 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 688 Registrado: 8-November 09 Desde: Villarrica Miembro Nº: 61.657 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Aug 17 2015, 12:53 PM) Sólo en isósceles pasa. no me digas -------------------- yo no soy especial a pesar que ella lo dijo tengo unos krk y un celular hechizo aún vácilo SFDK en el segundo piso y la frase final da igual la improviso

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