Poligono - Foro fmat.cl

Poligono

Opciones

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 10 2015, 03:16 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio R, y de vértices $TEX: $P_{1},P_{2},...,P_{n-1},P_{n}$$ . Sea $TEX: $P_{k}$$ un vértice, encuentre $TEX: $\overline{P_{k-1}P_{k}}\cdot \overline{P_{k}P_{k+1}}\cdot d_{1}\cdot d_{2}\cdots d_{n-3}$$ donde $TEX: $d_{1}, d_{2},..., d_{n-3}$$ son todas las diagonales desde $TEX: $P_{k}$$

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 9 2015, 04:42 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	Consideremos un polígono regular de $TEX: $n$$ lados en el plano complejo inscrito en una circunferencia unitaria centrada en el origen, tal que $TEX: $P_{k}$$ sea el vértice en 1. Entonces, cada vértice tiene coordenadas $TEX: ${1,e^{\frac{2 i\pi}{n}},..., e^{\frac{2 i(n-1)\pi}{n}}}$$ , es decir son las soluciones de la ecuación $TEX: $z^{n}-1=0$$ . Sea $TEX: $e^{\frac{2i\pi}{n}}=w$$ , luego $TEX: $$z^{n}-1=(z-1)(z-w)...(z-w^{n-1})$$$ $TEX: $$1+z+z^{2}+...+z^{n-1}=(z-w)(z-w^{2})...(z-w^{n-1})$$$ Tomando $TEX: $z=1$$ , tenemos $TEX: $n=(1-w)...(1-w^{n-1})$$ , de donde $TEX: $\vert 1-w\vert \times\vert 1-w^{2}\vert\times ...\times\vert 1-w^{n-1}\vert=n$$ , ya que $TEX: $\vert 1-w^{j}\vert$$ representa la distancia entre el vértice $TEX: $P_{k}=1$$ y el vértice $TEX: $w^{j}$$ , $TEX: $1\leq j\leq n$$ . Saludos!