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> Polinomios <3
Niklaash
mensaje Aug 6 2015, 07:03 PM
Publicado: #1


Doctor en Matemáticas
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P1: Sea TEX: $d=MCD(m,n)$, pruebe que el TEX: $MCD(x^m-1,x^n-1)=x^d-1$

P2: Encuentre todas las parejas de enteros positivos TEX: $(m,n)$ tales que TEX: $1+x+x^2+...+x^m$ divida a TEX: $1+x^n+x^{2n}+...+x^{mn}$

P3: Encuentre todos los polinomios TEX: $P(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$, con TEX: $a_j \in \{ -1,1 \} $ que tengan todas sus raices reales

P4: Pruebe que el polinomio con coeficientes reales TEX: $P(x)=x^n+2nx^{n-1}+2n^2x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+...+a_1x+a_0$ no puede tener todas sus raices reales
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Adrianocor
mensaje Aug 6 2015, 10:26 PM
Publicado: #2


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Mensaje modificado por Adrianocor el Aug 6 2015, 10:27 PM
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asdayuyi
mensaje Aug 8 2015, 10:54 PM
Publicado: #3


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P1. Demostraremos lo siguiente: Si TEX: $X^A\equiv Y^A$(mod m) yTEX: $X^B\equiv Y^B$(mod m) entonces TEX: $X^{MCD(A,B)}\equiv Y^{MCD(A,B)}$(mod n). En efecto, por bezout existen enteros k,j tales que MCD(A,B)=Ak+Bj, luego TEX: $X^{Ak}\cdot X^{Bj}\equiv Y^{Ak}\cdot Y^{Bj}$(mod n) de donde se tiene.

Usando eso, tenemos que como TEX: $MCD(x^m-1,x^n-1)$ divide a TEX: $x^m-1$ y a TEX: $x^n-1$ tenemos que TEX: $MCD(x^m-1,x^n-1)$ divide a TEX: $x^{MCD(m,n)}-1$

Por otro lado, es claro que TEX: $x^d-1$ divide a TEX: $mcd(x^m-1,x^n-1)$, ya que ambos términos tienen a TEX: $x^d-1$ como factor.

Juntando las dos divisibilidades se tiene la igualdad

besitos
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Esteban Cea
mensaje Aug 10 2015, 08:25 PM
Publicado: #4


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p4)


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