Lista 3 - Foro fmat.cl

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asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2015, 07:36 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1. Sean $TEX: $a,b,c$$ reales positivos tales que $TEX: $a+b+c=3$$ . Pruebe que $TEX: $\displaystyle\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\displaystyle\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ac}}+\displaystyle\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\geq \displaystyle\frac{3}{2}$$ Y determine cuando ocurre la igualdad. P2. Sea $TEX: $\omega$$ el circuncirculo de un triangulo ABC. Sean M,N los puntos medios de los lados AB y AC, respectivamente. Denotamos por T el punto medio del arco BC que no contiene a A. Los circuncirculos de los triangulos AMT y ANT intersectan a las simetrales de los segmentos AC y AB en los puntos X e Y respectivamente, con X,Y en el interior del triangulo ABC. Las rectas MN y XY se cortan en K. Pruebe que $TEX: $KA=KT$$ P3. Encuentre todas las funciones $TEX: $g:(0,\infty)\longrightarrow (0,\infty)$$ tales que: $TEX: $((g(a))^2 + (g(d))^2)(b^2+c^2)-(g(b^2) + g(c^2))(a^2+d^2) = 0$$ Para todos los reales positivos $TEX: $a,b,c,d$$ que satisfacen $TEX: $\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{c}{d}$$

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2015, 08:13 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P1: Notamos primero, por MA-MG, que $TEX: $ \displaystyle \frac{a+b+1}{3} \geq \sqrt[3]{ab} $$ y simétricos. Utilizando la forma de Engel de Cauchy-Schwarz, tenemos $TEX: $ \displaystyle \frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} $$ $TEX: $ \displaystyle \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}} $$ $TEX: $ \displaystyle = \frac{9}{3+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}} $$ $TEX: $ \displaystyle \geq \frac{9}{3+\frac{a+b+1}{3}+\frac{b+c+1}{3}+\frac{c+a+1}{3}} $$ $TEX: $ \displaystyle = \frac{9}{3+\frac{2a+2b+2c+3}{3}} $$ $TEX: $ \displaystyle = \frac{9}{3+3} $$ $TEX: $ \displaystyle = \frac{3}{2} $$ Para que la igualdad se de necesitamos que las desigualdades MA-MG sean igualdades, es decir, que $TEX: $ a=b=1 $$ y por tanto c=1, que como vemos cumple Mensaje modificado por vocin el Aug 5 2015, 08:15 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside