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asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 1 2015, 04:06 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1. Sean $TEX: $A$$ , $TEX: $B$$ , $TEX: $C$$ , $TEX: $D$$ cuatro puntos distintos en una circunferencia tales que las rectas $TEX: $\overline{AC}$$ y $TEX: $\overline{BD}$$ se intersectan en un punto $TEX: $E$$ , las rectas $TEX: $\overline{AB}$$ y $TEX: $\overline{CD}$$ no son paralelas, y las rectas $TEX: $\overline{AD}$$ y $TEX: $\overline{BC}$$ se intersectan en un punto $TEX: $F$$ . Pruebe que $TEX: $CDEF$$ es cíclico, si y solo si las rectas $TEX: $\overline{AB}$$ y $TEX: $\overline{EF}$$ son perpendiculares. P2. Sean $TEX: $x_1,x_2,...,x_n$$ una secuencia de reales no negativos y $TEX: $t$$ una constante real positiva. Sea $TEX: $f:[0,\infty)\longrightarrow (0,\infty)$$ una función que satisface $TEX: $f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)\geq t$$ . Encuentre el menor valor para la expresión: $TEX: $\displaystyle\frac{f(x_1)-1}{f(x_1)}+\displaystyle\frac{f(x_2)-1}{f(x_1)\cdot f(x_2)}+...+\displaystyle\frac{f(x_n)-1}{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)}$<br />$ P3. Encuentre todos los primos $TEX: $p$$ , $TEX: $q$$ , $TEX: $r$$ , y los enteros positivos $TEX: $k$$ tales que: $TEX: $p^2+q^2+16r^2=9k^2+1$$ Mensaje modificado por asdayuyi el Aug 1 2015, 04:09 PM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 1 2015, 05:46 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P1 Como ABCD es cíclico es claro que $TEX: $\angle{BDC}=\angle{CAB}=\beta$$ , $TEX: $\angle{ADB}=\angle{ACB}=\alpha$$ , $TEX: $\angle{DCA}=\angle{DBA}=\gamma$$ y $TEX: $\angle{DBC}=\angle{CAD}=\omega$$ , entonces, se tiene que $TEX: $\alpha+\beta+\gamma+\omega=180$$ , como se quiere que ECFD sea cíclico, entonces $TEX: $\angle{DFE}=\angle{DCE}=\gamma$$ y además $TEX: $\angle{EDC}=\angle{EFC}=\beta$$ . Sea $TEX: $EF\cap AB=K$$ , es fácil ver que $TEX: $\angle{FKA}=\angle{FKB}=180-\alpha=90$$ , de donde se concluye que ECFD es cíclico si y solo si $TEX: $EF\perp AB$$ . $TEX: $\blacksquare$$ --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 1 2015, 10:20 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P3: Tomemos congruencias módulo 3. El lado derecho es congruente a 1. Si en el izquierdo hay ningún, uno o tres múltiplos de tres es congruente a 0, 2 o 0 módulo 3. Por lo tanto, hay exactamente dos de los primos que son múltiplos de tres; obviamente, sólo es posible que sea tres. Supongamos $TEX: \( p=q=3 \)$ . Tenemos entonces $TEX: \( 9k^2-16r^2=17 \)$ $TEX: \( (3k-4r)(3k+4r)=17 \)$ Por factorización, y usando que $TEX: \( 3k+4r>3k-4r \)$ tenemos $TEX: \( 3k-4r=1, 3k+4r=17 \)$ que implica $TEX: \( k=3, r=2 \)$ . Tenemos entonces la solución $TEX: \( (3, 3, 2, 3) \)$ Supongamos ahora que $TEX: \( p=r=3 \)$ (el caso $TEX: \( q=r=3 \)$ es análogo). Tenemos entonces $TEX: \( 9k^2-q^2=144+9-1=152=819 \)$ $TEX: \( (3k-q)(3k+q)=819 \)$ Notemos que la suma de ambos factores es divisible por seis, por lo que las opciones posibles son 276 y 438. Para el primero: $TEX: \( 6k=(3k-q)+(3k+q)=2+76=78 \)$ $TEX: \( k=13 \)$ $TEX: \( q=37 \)$ Para el segundo $TEX: \( 6k=(3k-1)+(3k+1)=4+38=42 \)$ $TEX: \( k=7 \)$ $TEX: \( q=17 \)$ Juntando todas todas las soluciones, obtenemos $TEX: \( (p, q, r, k)=(3, 3, 2, 3), (3, 17, 3, 7), (3, 37, 3, 13), (17, 3, 3, 7), (37, 3, 3, 13) \)$ -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 3 2015, 09:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(asdayuyi @ Aug 1 2015, 06:06 PM) P2. Sean $TEX: $x_1,x_2,...,x_n$$ una secuencia de reales no negativos y $TEX: $t$$ una constante real positiva. Sea $TEX: $f:[0,\infty)\longrightarrow (0,\infty)$$ una función que satisface $TEX: $f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)\geq t$$ . Encuentre el menor valor para la expresión: $TEX: $\displaystyle\frac{f(x_1)-1}{f(x_1)}+\displaystyle\frac{f(x_2)-1}{f(x_1)\cdot f(x_2)}+...+\displaystyle\frac{f(x_n)-1}{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)}$<br />$ haciendo minimo común multiplo queda: $TEX: $\displaystyle\frac{(f(x_1)-1)\left ( f(x_2)\cdot f(x_3)\cdot ... \cdot f(x_n) \right )}{f(x_1)\left ( f(x_2)\cdot f(x_3)\cdot ... \cdot f(x_n) \right )}+\displaystyle\frac{(f(x_2)-1)\left ( f(x_3)\cdot f(x_4)\cdot ... \cdot f(x_n) \right )}{f(x_1)\cdot f(x_2)\left ( f(x_3)\cdot f(x_4)\cdot ... \cdot f(x_n) \right )}+...+\displaystyle\frac{f(x_n)-1}{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)}=\frac{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)-1}{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)}=1-\frac{1}{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)}\geq 1-\frac{1}{t}$$ edit:ultimo paso Mensaje modificado por Adrianocor el Aug 4 2015, 11:48 AM

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2015, 11:39 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(Adrianocor @ Aug 3 2015, 09:46 PM) haciendo minimo común multiplo queda: $TEX: $\displaystyle\frac{(f(x_1)-1)\left ( f(x_2)\cdot f(x_3)\cdot ... \cdot f(x_n) \right )}{f(x_1)\left ( f(x_2)\cdot f(x_3)\cdot ... \cdot f(x_n) \right )}+\displaystyle\frac{(f(x_2)-1)\left ( f(x_3)\cdot f(x_4)\cdot ... \cdot f(x_n) \right )}{f(x_1)\cdot f(x_2)\left ( f(x_3)\cdot f(x_4)\cdot ... \cdot f(x_n) \right )}+...+\displaystyle\frac{f(x_n)-1}{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)}=\frac{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)-1}{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)}=1-\frac{1}{f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot ... \cdot f(x_n)}\geq t+1$$ $TEX: $$\left( \frac{f\left( x_{1} \right)-1}{f\left( x_{1} \right)} \right)+\left( \frac{f\left( x_{2} \right)-1}{f\left( x_{1} \right)\cdot f\left( x_{2} \right)} \right)+\left( \frac{f\left( x_{3} \right)-1}{f\left( x_{1} \right)\cdot f\left( x_{2} \right)\cdot f\left( x_{3} \right)} \right)+...+\left( \frac{f\left( x_{n} \right)-1}{f\left( x_{1} \right)\cdot f\left( x_{2} \right)\cdot ...\cdot f\left( x_{n} \right)} \right)$$$ $TEX: $$=\left( 1-\frac{1}{f\left( x_{1} \right)} \right)+\left( \frac{1}{f\left( x_{1} \right)}-\frac{1}{f\left( x_{1} \right)\cdot f\left( x_{2} \right)} \right)+...+\left( \frac{1}{f\left( x_{1} \right)\cdot f\left( x_{2} \right)\cdot ...\cdot f\left( x_{n-1} \right)}-\frac{1}{f\left( x_{1} \right)\cdot f\left( x_{2} \right)\cdot ...\cdot f\left( x_{n} \right)} \right)$$$ ni lo revise pero a la rapida, creo que es $TEX: $$=1-\frac{1}{f\left( x_{1} \right)\cdot f\left( x_{2} \right)\cdot ...\cdot f\left( x_{n} \right)}\ge 1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$$$

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 4 2015, 11:47 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	jaja tienes razon, la vendi en el ultimo paso

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